Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego jej wartość wynosi zero. Ze wzoru szukamy go, rozwiązując równanie \(f(x)=0\) z uwzględnieniem dziedziny. Na wykresie odczytujemy argumenty punktów leżących na osi poziomej.
Co jest zerem: argument czy wynik?
Zapis \(f(3)=0\) oznacza, że argument \(3\) daje wynik \(0\). Miejscem zerowym jest \(3\), a odpowiadającym mu punktem wykresu \((3,0)\). Nie wymagamy, aby sam argument był równy zero.
\(x_0\) jest miejscem zerowym, \(D_f\) dziedziną funkcji, a \((x_0,0)\) punktem jej wykresu na osi poziomej.
Na przykład dla \(f(x)=2x-6\) mamy \(f(0)=-6\) oraz \(f(3)=0\). Odczyt wartości dla zera i szukanie miejsca zerowego to dwa różne zadania. Pierwsze pyta o \(f(0)\), drugie o takie \(x\), które daje wynik zero.
Jak znaleźć miejsca zerowe na wykresie?
Szukaj punktów wykresu na osi \(x\), czyli na wysokości \(y=0\). Odczytaj ich pierwsze współrzędne. Wykres może przeciąć oś albo tylko jej dotknąć — w obu przypadkach istnieje miejsce zerowe, jeśli punkt należy do wykresu.
Na lewym rysunku \(f(x)=x^2-4\) ma miejsca zerowe \(-2\) i \(2\). Na prawym \(g(x)=(x-1)^2\) dotyka osi w punkcie \((1,0)\), więc ma jedno miejsce zerowe: \(1\). Brak przejścia na drugą stronę osi nie wyklucza miejsca zerowego.
Puste kółko na osi nie jest punktem wykresu i samo nie daje miejsca zerowego. Odczyt dotyczy tylko punktów należących do funkcji. Jeśli wykres nie dochodzi do osi, funkcja nie ma miejsc zerowych.
Przykład liniowy krok po kroku
Wyznaczmy miejsce zerowe \(f(x)=2x-6\), określonej na \(\mathbb R\). Wstawiamy zero za wynik funkcji, a nie za jej argument.
- Przyrównaj cały wzór funkcji do zera.\(2x-6=0\)
- Dodaj \(6\) po obu stronach równania.\(2x=6\)
- Podziel obie strony przez niezerowe \(2\).\(x=3\)
- Sprawdź dziedzinę i podstaw znaleziony argument.\(3\in\mathbb R,\qquad f(3)=2\cdot3-6=0\)
Odpowiedź: miejscem zerowym jest \(3\). W ogólnej funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), gdy \(a\ne0\), równanie \(ax+b=0\) daje \(x=-\frac ba\). Jeśli dziedzina jest ograniczona, ta liczba musi jeszcze do niej należeć.
Iloczyn, kwadrat i liczba miejsc zerowych
Dla \(f(x)=x^2-4\) otrzymujemy \((x-2)(x+2)=0\). Iloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerowy, zatem \(x=2\) lub \(x=-2\). Sprawdzenie daje \(2^2-4=0\) oraz \((-2)^2-4=0\).
Funkcja \(g(x)=(x-3)^2\) ma jedno miejsce zerowe: \(3\). Pierwiastek podwójny nie oznacza dwóch różnych argumentów. Natomiast \(h(x)=x^2+1\) nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, ponieważ jej wartości są co najmniej równe \(1\).
Funkcja stała \(f(x)=5\) nie ma miejsc zerowych. Funkcja \(f(x)=0\) ma miejscem zerowym każdy argument ze swojej dziedziny. Zatem funkcja może mieć zero, jedno, kilka albo nieskończenie wiele miejsc zerowych; nie każda ma najwyżej dwa.
Dla funkcji kwadratowej na całej \(\mathbb R\) liczbę miejsc zerowych określa delta. Dodatnia daje dwa, zerowa jedno, a ujemna żadnego. Ten wniosek nie zastępuje sprawdzenia dodatkowo ograniczonej dziedziny.
Ułamek i dziedzina: samo zero licznika nie wystarcza
Dla \(f(x)=\frac{x-2}{x+1}\) dziedzina wyklucza \(x=-1\). Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerowy, a mianownik niezerowy. Licznik daje \(x=2\); mianownik ma wtedy wartość \(3\), więc \(f(2)=\frac03=0\). Miejsce zerowe to \(2\).
Dla \(g(x)=\frac{x+3}{x+3}\) musimy wykluczyć \(x=-3\). W każdym dozwolonym punkcie funkcja wynosi \(1\), więc nie ma miejsc zerowych. Liczba zerująca licznik jest tutaj równocześnie wykluczona przez mianownik.
Ograniczenie może też pochodzić z polecenia. Funkcja \(h(x)=x^2-4\) określona tylko dla \(x\ge0\) ma jedno miejsce zerowe, \(2\). Liczba \(-2\) rozwiązuje równanie algebraiczne, ale nie należy do dziedziny tej funkcji.
Typowy błąd i zapis odpowiedzi
Kontrola ma trzy części: czy przyrównano całą funkcję do zera, czy znaleziono wszystkie rozwiązania i czy każde jest dozwolone. W odpowiedzi podaj argumenty. Pełne punkty \((x_0,0)\) dopisuj wtedy, gdy pytanie dotyczy współrzędnych punktów wykresu.