Odczytywanie własności funkcji z wykresu

Wyobraź sobie wykres jako profil trasy rowerowej. Oś x pokazuje drogę, a oś y wysokość. Gdy linia idzie w górę, funkcja rośnie. Gdy schodzi w dół, funkcja maleje. Punkty przecięcia z osią x to miejsca, w których wysokość wynosi zero.

Co można odczytać z wykresu?

• dziedzinę funkcji,
• zbiór wartości,
• miejsca zerowe,
• przedziały, w których funkcja jest dodatnia lub ujemna,
• przedziały monotoniczności,
• wartości największe i najmniejsze,
• argumenty, dla których funkcja przyjmuje wskazaną wartość.

Dziedzina z wykresu

Dziedzinę odczytujesz z osi x. Sprawdzasz, dla jakich argumentów istnieją punkty wykresu. Myślowo rzutujesz cały wykres pionowo na oś x.

Zbiór wartości z wykresu

Zbiór wartości odczytujesz z osi y. Sprawdzasz, jakie wysokości osiąga wykres. Myślowo rzutujesz wykres poziomo na oś y.

Miejsca zerowe

Miejsce zerowe to argument x, dla którego f(x)=0. Na wykresie są to punkty przecięcia lub zetknięcia wykresu z osią x.

Wartości dodatnie i ujemne

• Funkcja jest dodatnia tam, gdzie wykres leży nad osią x.
• Funkcja jest ujemna tam, gdzie wykres leży pod osią x.
• Funkcja jest równa zero w miejscach zerowych.

Monotoniczność

Przesuwaj wzrok po wykresie od lewej do prawej.

• Jeśli wykres idzie w górę, funkcja rośnie.
• Jeśli wykres idzie w dół, funkcja maleje.
• Jeśli biegnie poziomo, funkcja jest stała.

Wartość największa i najmniejsza

Najwyżej położony punkt wykresu wskazuje wartość największą, a najniżej położony punkt — wartość najmniejszą. Trzeba odczytać zarówno wartość y, jak i argument x, dla którego jest osiągana.

Jak odczytać f(a)?

Znajdź argument a na osi x, poprowadź pionowo do wykresu, a następnie poziomo do osi y. Odczytana wysokość to f(a).

Jak znaleźć argumenty, dla których f(x)=b?

Znajdź wartość b na osi y i wyobraź sobie poziomą prostą. Współrzędne x punktów przecięcia tej prostej z wykresem są szukanymi argumentami.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim M-A-P-A: Miejsca zerowe, Argumenty i wartości, Przedziały znaków oraz monotoniczności, Amplituda wysokości, czyli minimum i maksimum. Wyobraź sobie wykres jako gigantyczny park rozrywki. Na osi x jedziesz wagonikiem od lewej do prawej. Gdy wagon wspina się, funkcja rośnie; gdy spada z hukiem, maleje; gdy jedzie po płaskim moście, jest stała. Każde przecięcie osi x wywołuje eksplozję konfetti z napisem ZERO. Najwyższy punkt ma koronę MAX, a najniższy głęboką niebieską studnię MIN.

Przykład krok po kroku

Załóżmy, że wykres funkcji przechodzi przez punkty (-3,0), (-1,4), (2,4), (5,-2) i między nimi tworzy odcinki.

• Krok 1: Dziedzina obejmuje argumenty od -3 do 5, więc jest równa [-3,5].
• Krok 2: Najmniejsza wartość to -2, a największa 4, więc zbiór wartości to [-2,4].
• Krok 3: Jedno miejsce zerowe to x=-3. Drugie leży między 2 i 5, gdzie wykres przecina oś x.
• Krok 4: Funkcja rośnie na przedziale od -3 do -1.
• Krok 5: Funkcja jest stała na przedziale od -1 do 2.
• Krok 6: Funkcja maleje na przedziale od 2 do 5.
• Krok 7: Wartość największa wynosi 4 i jest osiągana dla wszystkich x z przedziału [-1,2].

Przykład odczytywania wartości

Jeżeli punkt (2,4) należy do wykresu, to f(2)=4. Jeżeli pozioma prosta y=4 przecina wykres na całym odcinku od x=-1 do x=2, to równanie f(x)=4 ma nieskończenie wiele rozwiązań w tym przedziale.

Najczęstsze błędy

• Odczytywanie dziedziny z osi y zamiast z osi x.
• Podawanie wartości funkcji zamiast argumentu jako miejsca zerowego.
• Patrzenie na wykres od prawej do lewej przy badaniu monotoniczności.
• Mylenie wartości największej z argumentem, dla którego jest osiągana.
• Pomijanie punktów otwartych i domkniętych na końcach wykresu.
• Uznawanie zetknięcia z osią x za brak miejsca zerowego.

Najczęstsze pytania