Z wykresu funkcji odczytujemy, jakie argumenty są dozwolone, jakie wyniki funkcja osiąga, gdzie jest dodatnia lub ujemna oraz gdzie rośnie lub maleje. Punktem wyjścia jest zawsze rozróżnienie osi: pozioma pokazuje argument \(x\), a pionowa wartość \(f(x)\).
Jak odczytać jeden punkt i nie zamienić współrzędnych?
Punkt \((2,3)\) na wykresie oznacza \(f(2)=3\): dla argumentu \(2\) wynik wynosi \(3\). Aby odczytać \(f(2)\), znajdź \(2\) na osi poziomej, przesuń się pionowo do wykresu, a następnie poziomo do osi pionowej. Odczytana wysokość jest odpowiedzią.
Najpierw sprawdź podziałkę każdej osi. Jedna kratka nie zawsze oznacza jedną jednostkę, a skale obu osi mogą być różne. Jeśli argument nie należy do dziedziny, nie znajdziesz nad nim punktu wykresu; nie oznacza to automatycznie wartości zero.
Na poniższym rysunku przedstawiono fragment paraboli \(f(x)=-(x-1)^2+4\), której dziedziną jest całe \(\mathbb R\). Wykres biegnie dalej poza ramkę. Przez całą lekcję korzystamy z tej samej funkcji, aby różne rodzaje odczytu się nie mieszały.
Dziedzina, zbiór wartości i końce wykresu
Dziedzinę odczytujemy w poziomie: dla jakich \(x\) istnieje punkt wykresu? Zbiór wartości odczytujemy w pionie: jakie wysokości \(y\) są osiągane? Dla pokazanej paraboli \(D_f=\mathbb R\), a \(W_f=(-\infty;4]\), ponieważ wykres osiąga wysokość \(4\) i wszystkie mniejsze wartości.
Nie traktuj krawędzi obrazka jako końca dziedziny. Tutaj wiemy ze wzoru i opisu, że parabola trwa dalej. Jeśli w zadaniu funkcja jest określona wyłącznie narysowanym fragmentem, trzeba uwzględnić wskazane końce i ich oznaczenia.
Pełne kółko oznacza punkt należący do wykresu, puste — wykluczony punkt. Puste kółko przy \((a,b)\) nie musi wykluczać całego argumentu \(a\): może istnieć pełny punkt \((a,c)\) na innej wysokości. Wtedy wartością \(f(a)\) jest \(c\), nie \(b\).
Miejsca zerowe i znak funkcji
Miejsca zerowe to argumenty, dla których wykres leży na osi poziomej, czyli \(f(x)=0\). Nasza parabola przecina tę oś w punktach \((-1,0)\) i \((3,0)\). Miejscami zerowymi są zatem liczby \(-1\) oraz \(3\), a nie całe pary.
Nad osią poziomą wartości są dodatnie, pod osią ujemne. Patrzymy na wysokość wykresu, ale w odpowiedzi zapisujemy argumenty, pod którymi znajduje się odpowiedni fragment.
| Warunek | Położenie wykresu | Odpowiedź dla tej paraboli |
|---|---|---|
| \(f(x)\gt0\) | Nad osią poziomą | \(x\in(-1;3)\) |
| \(f(x)\ge0\) | Nad osią lub na niej | \(x\in[-1;3]\) |
| \(f(x)\lt0\) | Pod osią poziomą | \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\) |
Przy znaku ostrym wykluczamy miejsca zerowe, bo zero nie jest dodatnie ani ujemne. Przy \(\ge\) lub \(\le\) włączamy je do odpowiedzi. Nie myl znaku wartości z kierunkiem, w którym biegnie wykres.
Rosnąca, malejąca i największa wartość
Przesuwaj wzrok od lewej do prawej, czyli w kierunku rosnących argumentów. Jeśli wykres idzie w górę, funkcja rośnie. Jeśli schodzi w dół, maleje. Poziomy odcinek oznacza stałą wartość. Ten opis dotyczy wskazanego przedziału argumentów.
Nasza parabola rośnie na \((-\infty;1]\) i maleje na \([1;+\infty)\). Wierzchołek \((1,4)\) rozdziela te części. Można włączyć jego argument do obu przedziałów: nie narusza to ścisłego porządku wartości wewnątrz żadnego z nich.
Największa wartość wynosi \(4\) i jest osiągana dla \(x=1\). Odróżniaj wartość maksimum \(4\), argument maksimum \(1\) i punkt \((1,4)\). Najmniejsza wartość nie istnieje: ramiona paraboli biegną coraz niżej.
Minimum lub maksimum lokalne porównuje punkt z pobliskimi punktami wykresu. Najmniejsza lub największa wartość na całej dziedzinie wymaga porównania ze wszystkimi punktami. Jeśli na rysunku jest kilka wzniesień, nie każde z nich daje największą wartość całej funkcji.
Przykład odczytu krok po kroku
Odczytaj wartość \(f(0)\) i wszystkie argumenty, dla których \(f(x)=3\). Pierwsze polecenie podaje argument, a drugie wynik. Dlatego wykonamy dwa różne ruchy po wykresie.
- Dla znanego argumentu idź pionowo od zera na osi poziomej do wykresu.\((0,3)\ \Longrightarrow\ f(0)=3\)
- Dla znanej wartości przeprowadź poziomą prostą na wysokości \(3\).\(y=3\)
- Odczytaj argumenty wszystkich punktów wspólnych tej prostej i wykresu.\((0,3),\ (2,3)\ \Longrightarrow\ x=0\ \text{lub}\ x=2\)
- Sprawdź odczyt ze wzorem, jeśli wzór jest dostępny.\(f(0)=-(0-1)^2+4=3,\qquad f(2)=-(2-1)^2+4=3\)
Wartość \(3\) występuje dwa razy, ale funkcja pozostaje poprawna: każdy z dwóch argumentów ma dokładnie jeden wynik. Dla poziomu \(y=4\) jest jeden punkt wspólny, a dla \(y=5\) nie ma żadnego.
Typowy błąd i kolejność sprawdzania
Przy każdym pytaniu nazwij szukaną wielkość: argument, wynik, przedział czy punkt. Potem sprawdź podziałkę, dziedzinę i oznaczenia końców. Z wykresu narysowanego tylko orientacyjnie nie odczytuj dokładnych ułamków, których nie potwierdzają dane lub podziałka.