Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Wyobraź sobie automat biletowy. Nie każdy przedmiot można do niego wrzucić — przyjmuje tylko określone monety. To właśnie dziedzina. Z kolei wszystkie bilety, które automat może wydać, tworzą zbiór wartości.

Dziedzina funkcji

Dziedzina to zbiór wszystkich argumentów x, dla których funkcja jest określona. Inaczej mówiąc: to wszystkie liczby, które wolno podstawić do wzoru.

Zbiór wartości funkcji

Zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb y=f(x), które funkcja może przyjmować dla argumentów należących do dziedziny.

Konkret: wejście i wyjście

• Dziedzina odpowiada na pytanie: jakie wartości x mogą wejść?
• Zbiór wartości odpowiada na pytanie: jakie wartości y mogą wyjść?

Jak wyznaczać dziedzinę ze wzoru?

Najpierw sprawdź, czy we wzorze występują działania mające ograniczenia.

• W mianowniku nie może pojawić się zero.
• Pod pierwiastkiem stopnia parzystego musi być liczba nieujemna.
• Argument logarytmu musi być dodatni.
• Dla zwykłych wielomianów dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste.

Przykład z mianownikiem

Dla f(x)=1/(x-3) mianownik nie może być równy zero.

• x-3≠0.
• x≠3.
• Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 3.

Przykład z pierwiastkiem

Dla g(x)=√(x+2) wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

• x+2≥0.
• x≥-2.
• Dziedzina: [-2,∞).

Jak odczytać dziedzinę z wykresu?

Spójrz, nad jakimi wartościami osi x znajduje się wykres. Rzut wykresu na oś x tworzy dziedzinę.

Jak odczytać zbiór wartości z wykresu?

Spójrz, jakie wysokości y osiąga wykres. Rzut wykresu na oś y tworzy zbiór wartości.

Przykład: funkcja kwadratowa

Dla f(x)=x² dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, ponieważ każdą liczbę można podnieść do kwadratu. Najmniejsza wartość funkcji wynosi 0, więc zbiorem wartości jest [0,∞).

Przykład: funkcja liniowa

Dla f(x)=2x-5 dziedziną i zbiorem wartości są wszystkie liczby rzeczywiste. Można podstawić dowolne x i otrzymać dowolną wartość y.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim W-E-J-D-Ź: Wzór obejrzyj, Elementy z ograniczeniami znajdź, Jakie warunki muszą spełniać zapisz, Dziedzinę wyznacz, Źródła wartości odczytaj z wykresu lub wzoru. Wyobraź sobie pięć pomieszczeń. Przy drzwiach strażnik nie wpuszcza liczby powodującej dzielenie przez zero. W drugim pokoju wielki pierwiastek działa jak zielona bramka i przepuszcza tylko liczby spełniające warunek. W trzecim logarytmiczny smok żąda dodatniego argumentu. W czwartym mapa pokazuje wszystkie dozwolone x. W piątym kolorowe kule y wpadają do ogromnego kosza oznaczonego zbiorem wartości.

Przykład krok po kroku

Wyznacz dziedzinę funkcji h(x)=√(5-x)/(x+1).

• Krok 1: Warunek dla pierwiastka: 5-x≥0.
• Krok 2: Z tego wynika x≤5.
• Krok 3: Warunek dla mianownika: x+1≠0.
• Krok 4: Z tego wynika x≠-1.
• Krok 5: Połącz warunki: x≤5 oraz x≠-1.
• Krok 6: Dziedzina to (-∞,-1)∪(-1,5].

Wyznaczanie zbioru wartości z prostego wzoru

Dla p(x)=(x-2)²+1 kwadrat jest zawsze nieujemny.

• (x-2)²≥0.
• p(x)≥1.
• Najmniejsza wartość to 1, osiągana dla x=2.
• Zbiór wartości: [1,∞).

Najczęstsze błędy

• Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości.
• Zapominanie o zakazie dzielenia przez zero.
• Używanie warunku większe od zera zamiast większe lub równe zero pod pierwiastkiem parzystego stopnia.
• Odczytywanie dziedziny z osi y zamiast z osi x.
• Odczytywanie zbioru wartości z osi x zamiast z osi y.
• Pomijanie końców przedziałów i błędne stosowanie nawiasów otwartych lub domkniętych.

Najczęstsze pytania