Dziedzina funkcji to zbiór liczb, które wolno podstawić za argument. Zbiór wartości to zbiór wszystkich wyników, które funkcja rzeczywiście osiąga. Dziedzinę odczytujemy z danych i ograniczeń wzoru, a zbiór wartości z możliwych wyników dla tej dziedziny.
Dwa pytania, których nie wolno pomylić
Dla \(f(x)=x^2\) z dziedziną \(\mathbb R\) można podstawić każdą liczbę rzeczywistą, również ujemną. Wynik zawsze jest nieujemny. Dlatego \(D_f=\mathbb R\), ale \(W_f=[0;+\infty)\).
Zapis \([0;+\infty)\) obejmuje zero i wszystkie liczby dodatnie. Nawias kwadratowy włącza skończony koniec, a okrągły go wyklucza. Przy nieskończoności zawsze używamy nawiasu okrągłego: nieskończoność nie jest liczbą będącą wartością funkcji.
Jeżeli dziedzina została podana w zadaniu, trzeba ją zachować. Ten sam wzór na mniejszej dziedzinie może mieć inny zbiór wartości. Gdy podano tylko wzór bez dodatkowych ograniczeń, zwykle wyznaczamy jego naturalną dziedzinę rzeczywistą, czyli wszystkie liczby, dla których wzór ma sens.
Trzy podstawowe źródła ograniczeń
| Zapis | Warunek | Przykład |
|---|---|---|
| Ułamek | Mianownik różny od zera | \(\frac1{x-2}\): \(x\ne2\) |
| Pierwiastek parzystego stopnia | Wyrażenie pod pierwiastkiem nieujemne | \(\sqrt{x-3}\): \(x\ge3\) |
| Logarytm o poprawnej podstawie | Argument dodatni | \(\log_2(x-2)\): \(x\gt2\) |
Zero pod pierwiastkiem kwadratowym jest dozwolone, bo \(\sqrt0=0\). Zero jako argument logarytmu jest niedozwolone. Pierwiastek nieparzystego stopnia nie wymaga nieujemności: \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
Gdy pierwiastek znajduje się w mianowniku, trzeba spełnić dwa warunki naraz. Dla \(\frac1{\sqrt{x-3}}\) wymagamy \(x-3\ge0\) oraz \(\sqrt{x-3}\ne0\), więc łącznie \(x\gt3\). Punkt \(3\) odpada.
Przykład: połącz wszystkie warunki
Wyznaczmy dziedzinę \(f(x)=\sqrt{x+1}+\frac1{x-2}\). Jeden fragment wzoru wymaga istnienia pierwiastka, drugi zabrania dzielenia przez zero. Oba warunki muszą być spełnione jednocześnie.
- Wyznacz warunek dla pierwiastka.\(x+1\ge0\ \Longrightarrow\ x\ge-1\)
- Wyznacz warunek dla mianownika.\(x-2\ne0\ \Longrightarrow\ x\ne2\)
- Ze zbioru dopuszczającego pierwiastek usuń punkt zerujący mianownik.\(D_f=[-1;2)\cup(2;+\infty)\)
- Sprawdź granicę dozwoloną i wartość wykluczoną.\(f(-1)=\sqrt0+\frac1{-3}=-\frac13,\qquad x=2:\ \frac10\ \text{nie istnieje}\)
Symbol \(\cup\) oznacza sumę zbiorów: do dziedziny należą liczby z lewego lub prawego przedziału. Nie oznacza to rezygnacji z któregokolwiek warunku — dwa przedziały powstały dopiero po zastosowaniu obu ograniczeń.
Zbiór wartości ze wzoru
Dla \(g(x)=(x-2)^2+1\), przy \(x\in\mathbb R\), kwadrat jest nieujemny, więc \(g(x)\ge1\). Wartość \(1\) jest osiągana dla \(x=2\). Każdy wynik \(y\ge1\) jest możliwy: wystarczy wziąć \(x=2+\sqrt{y-1}\). Zatem \(W_g=[1;+\infty)\), a nie tylko zbiór zawierający minimum.
Dla \(h(x)=\frac1{x^2+1}\) dziedziną jest \(\mathbb R\), ponieważ mianownik ma wartość co najmniej \(1\). Wynik jest dodatni i nie przekracza \(1\). Wartość \(1\) otrzymujemy dla \(x=0\); zera funkcja nigdy nie osiąga. Jej zbiór wartości to \((0;1]\). Każde \(0\lt y\le1\) uzyskamy, wybierając \(x=\sqrt{\frac1y-1}\).
Rozróżniaj osiąganie wartości i zbliżanie się do niej. Coraz większe \(|x|\) dają w tym przykładzie wyniki coraz bliższe zera, ale żaden skończony argument nie daje wyniku równego zeru.
Odczyt z wykresu i podana dziedzina
Na wykresie dziedzina odpowiada położeniu punktów w poziomie: pytamy, nad którymi liczbami na osi \(x\) znajduje się wykres. Zbiór wartości odpowiada wysokościom: pytamy, które liczby na osi \(y\) są osiągane przez przynajmniej jeden punkt.
Poniżej pokazano \(f(x)=x^2\) tylko dla \(x\in[-1;2]\). Oba końce są włączone. Dozwolone argumenty zaczynają się od \(-1\) i kończą na \(2\), natomiast najmniejsza wysokość wynosi \(0\), a największa \(4\).
Odczytujemy \(D_f=[-1;2]\) oraz \(W_f=[0;4]\). Nie wystarczy obliczyć wartości na końcach i wybrać mniejszą z nich: \(f(-1)=1\), lecz wewnątrz dziedziny jest \(x=0\), dla którego \(f(0)=0\). Trzeba uwzględnić cały przebieg wykresu.
Typowy błąd: skracanie nie przywraca punktu
Na końcu sprawdź osobno: wszystkie zakazy we wzorze, dodatkową dziedzinę z polecenia, rzeczywiście osiągane wyniki oraz rodzaj nawiasu przy każdym końcu. Dziedzina i zbiór wartości mogą być różne nawet wtedy, gdy opisują je podobne przedziały.