Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi ze swojej dziedziny dokładnie jedną wartość. Różne argumenty mogą dawać taki sam wynik. Niedopuszczalna jest sytuacja, w której ten sam argument ma dwa różne wyniki albo nie ma żadnego.
Argument, wartość i nazwa funkcji
Wyobraź sobie regułę: „pomnóż podaną liczbę przez dwa i odejmij jeden”. Liczba podana na wejściu jest argumentem. Wynik jest wartością funkcji. Tę regułę zapisujemy \(f(x)=2x-1\), gdzie \(f\) jest nazwą funkcji, a \(x\) miejscem na argument.
Dla argumentu \(3\) wynik wynosi \(5\), dlatego zapisujemy \(f(3)=5\). Zapis \(f(3)\) nie oznacza mnożenia litery \(f\) przez \(3\). Oznacza wartość funkcji o nazwie \(f\) dla argumentu \(3\).
Dziedzina to zbiór wszystkich dozwolonych argumentów. Zbiór wartości to wszystkie wyniki rzeczywiście otrzymywane z tych argumentów. Na tym etapie najważniejsze jest rozróżnienie „co podstawiam?” i „co otrzymuję?”.
Jednemu argumentowi odpowiada dokładnie jedna wartość
Rozważmy dziedzinę złożoną z trzech liczb: \(\{-1,0,2\}\). Przypiszmy liczbom \(-1\) i \(0\) wartość \(1\), a liczbie \(2\) wartość \(4\). To jest funkcja: z każdego argumentu wychodzi jedna strzałka. Dwie strzałki mogą kończyć się na tym samym wyniku.
Gdyby argument \(2\) dostał jednocześnie wartości \(1\) i \(4\), przyporządkowanie nie byłoby funkcją. Gdyby argument \(0\), należący do zadanej dziedziny, nie miał żadnej wartości, również nie byłaby to funkcja na tej dziedzinie.
Funkcja nie musi być opisana jednym wzorem. Może być podana tabelą, wykresem, diagramem lub słowami. Ważny jest warunek jednoznacznego wyniku dla każdego argumentu, a nie sposób zapisu.
Obliczanie wartości: podstawiaj w każde miejsce litery
Dla \(f(x)=x^2-2x+1\) obliczmy \(f(-2)\). Wartość argumentu jest ujemna, dlatego przy każdym podstawieniu użyjemy nawiasu. Kolejność działań nadal obowiązuje: potęga i mnożenie przed dodawaniem.
- Zastąp każde wystąpienie \(x\) całą liczbą \(-2\).\(f(-2)=(-2)^2-2\cdot(-2)+1\)
- Oblicz kwadrat i iloczyn, uwzględniając znaki.\(f(-2)=4+4+1\)
- Dodaj otrzymane składniki.\(f(-2)=9\)
Argumentem jest \(-2\), a wartością \(9\). Można sprawdzić rachunek, zauważając, że \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). Dla \(x=-2\) otrzymujemy \((-3)^2=9\).
Podobnie dla \(g(x)=4-2x\) mamy \(g(-1)=4-2\cdot(-1)=6\). Nazwa \(g\) odróżnia tę regułę od \(f\); nie zmienia sposobu podstawiania.
Tabela, punkt i wykres
Dla funkcji \(h(x)=2x+1\) możemy przygotować tabelę kilku argumentów i ich wartości. Każda kolumna opisuje jeden punkt wykresu: najpierw argument, potem wynik.
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) |
|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | \(-1\) | \(1\) | \(5\) |
Punkty \((-1,-1)\), \((0,1)\) i \((2,5)\) należą do wykresu. Para \((2,3)\) nie należy, ponieważ \(h(2)=5\), a nie \(3\). Na układzie współrzędnych oś pozioma pokazuje argumenty, a pionowa wyniki.
Aby rozpoznać wykres funkcji, wyobraź sobie pionową prostą przechodzącą przez wybrany argument. Nie może ona przecinać wykresu w dwóch punktach o różnych wysokościach. Dla każdego argumentu należącego do dziedziny ma istnieć dokładnie jedna taka wysokość.
Wartość dla argumentu czy argument dla wartości?
Pytanie „oblicz \(h(2)\)” podaje argument i prosi o wynik: \(h(2)=5\). Pytanie „dla jakiego \(x\) mamy \(h(x)=5\)?” podaje wynik i wymaga rozwiązania równania: \(2x+1=5\), zatem \(x=2\). To dwa różne polecenia.
Poszukiwanie argumentu może dać więcej niż jedną odpowiedź. Dla \(f(x)=x^2\) warunek \(f(x)=4\) spełniają \(x=-2\) i \(x=2\). Funkcja nadal jest poprawna: każdy z tych argumentów ma jeden wynik, po prostu ten sam.
Miejsce zerowe to argument, dla którego wynik wynosi zero. Jeśli \(f(5)=0\), miejscem zerowym jest \(5\), a punkt wykresu ma współrzędne \((5,0)\). Nie zamieniaj miejscami argumentu i wartości.
Typowy błąd i kontrola rozumienia
Czytając zapis \(f(a)=b\), powiedz sobie: „dla argumentu \(a\) funkcja daje wynik \(b\)”. Przed podstawianiem sprawdź, czy argument należy do dziedziny. Po obliczeniu oddziel nazwę funkcji, podstawioną liczbę i uzyskany wynik.