Pojęcie funkcji

Wyobraź sobie automat z przyciskami. Wrzucasz do niego jedną liczbę, automat wykonuje ustaloną czynność i wypuszcza wynik. Najważniejsza zasada brzmi: dla każdego dopuszczalnego wejścia automat może podać tylko jeden wynik.

Co to jest funkcja?

Funkcja przyporządkowuje każdemu elementowi ze zbioru argumentów dokładnie jedną wartość. Argument najczęściej oznaczamy przez x, a wartość funkcji przez f(x) lub y.

Konkret: automat i paragon

Jeżeli jedna bułka kosztuje 2 zł, to koszt zakupów zależy od liczby bułek. Dla x bułek koszt wynosi f(x)=2x. Liczba bułek jest argumentem, a cena jest wartością funkcji.

Reprezentacja funkcji

Tę samą funkcję można pokazać na kilka sposobów.

• Opis słowny: każdej liczbie przyporządkuj jej dwukrotność.
• Wzór: f(x)=2x.
• Tabela: zestawienie argumentów i odpowiadających im wartości.
• Graf: strzałki prowadzące od argumentów do wartości.
• Wykres: punkty lub linia w układzie współrzędnych.

Dziedzina, zbiór wartości i argument

• Dziedzina to zbiór wszystkich dopuszczalnych argumentów x.
• Argument to konkretna wartość wejściowa.
• Wartość funkcji to wynik otrzymany dla danego argumentu.
• Zbiór wartości to wszystkie wyniki, które funkcja może przyjmować.

Warunek dokładnie jednej wartości

Jeden argument nie może mieć dwóch różnych wartości. Może się natomiast zdarzyć, że różne argumenty mają tę samą wartość.

• Dozwolone: f(2)=5 i f(3)=5.
• Niedozwolone: dla x=2 jednocześnie y=5 i y=7.

Jak obliczać wartość funkcji?

Podstaw argument w miejsce x i wykonaj działania zgodnie z kolejnością.

• Dla f(x)=3x-4 oblicz f(5).
• Podstaw x=5: f(5)=3·5-4.
• Oblicz: f(5)=15-4=11.

Jak odczytać argument dla podanej wartości?

Jeżeli wiesz, że f(x)=11 dla funkcji f(x)=3x-4, rozwiązujesz równanie 3x-4=11.

• 3x=15.
• x=5.

Test pionowej prostej

Wykres przedstawia funkcję, jeżeli każda pionowa prosta przecina go najwyżej w jednym punkcie. Jeżeli pionowa linia przecina wykres w dwóch punktach, jednemu argumentowi odpowiadają dwie wartości, więc nie jest to wykres funkcji.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim W-E-J-Ś-C-I-E: Wybierz argument, Element sprawdź w dziedzinie, Jedną regułę zastosuj, Śledź działania, Cel oblicz, Interpretuj wynik, Ewentualnie zaznacz punkt. Wyobraź sobie gigantyczny automat stojący w przedpokoju. Liczba x wskakuje przez drzwi, strażnik dziedziny sprawdza jej bilet, a w środku mechaniczne ramiona wykonują wzór. Na końcu z komina wystrzeliwuje dokładnie jedna wartość y i ląduje na wykresie jak świecąca kula. Gdyby automat próbował wyrzucić dwa różne wyniki dla jednego x, uruchamia się głośny alarm: to nie jest funkcja.

Przykład krok po kroku

Dana jest funkcja f(x)=x²-2x+3. Oblicz f(-1) i sprawdź, czy punkt (-1,6) należy do jej wykresu.

• Krok 1: Podstaw x=-1.
• Krok 2: f(-1)=(-1)²-2·(-1)+3.
• Krok 3: f(-1)=1+2+3=6.
• Krok 4: Dla argumentu -1 wartość funkcji wynosi 6.
• Krok 5: Punkt (-1,6) należy do wykresu funkcji.

Przykład z dziedziną

Dla funkcji g(x)=1/(x-2) liczba 2 nie należy do dziedziny, ponieważ prowadziłaby do dzielenia przez zero.

• Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem 2.
• Można zapisać: x≠2.

Najczęstsze błędy

• Mylenie argumentu x z wartością funkcji f(x).
• Brak nawiasów przy podstawianiu liczby ujemnej.
• Uznawanie relacji za funkcję mimo dwóch wartości dla jednego argumentu.
• Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości.
• Pomijanie ograniczeń wynikających z mianownika lub pierwiastka.
• Niepoprawne odczytywanie punktu: pierwsza współrzędna to argument, druga to wartość funkcji.

Najczęstsze pytania