Największa wartość funkcji to najwyższy osiągany wynik, a najmniejsza — najniższy. Szukamy wartości na osi pionowej, ale musimy też wskazać dozwolony argument, dla którego dany wynik jest osiągany.
Wartość, argument i punkt to różne informacje
Jeśli najwyższym punktem wykresu jest \((2,5)\), największa wartość wynosi \(5\), a argument, dla którego ją otrzymujemy, wynosi \(2\). Cała para opisuje punkt wykresu. Nie zamieniaj tych trzech odpowiedzi.
Słowa „największa” i „najmniejsza” odnoszą się tutaj do całej rozważanej dziedziny. Maksimum lokalne porównuje wynik tylko z wynikami w pobliżu danego argumentu. Przy wykresie z kilkoma wzniesieniami jedno lokalne maksimum może być niższe od drugiego.
\(M\) jest największą wartością, jeśli \(x_0\) należy do dziedziny. Dla wartości najmniejszej \(m=f(x_0)\) wymagamy \(f(x)\ge m\) dla każdego dozwolonego argumentu.
Ograniczenie musi być osiągane
Funkcja \(f(x)=x\) na dziedzinie \((0;1)\) przyjmuje tylko wyniki między zerem a jednością. Nie ma jednak ani najmniejszej, ani największej wartości. Zero i jedność są wykluczone; do każdego dopuszczalnego wyniku można znaleźć mniejszy i większy wynik nadal należący do tego przedziału.
Na dziedzinie \([0;1]\) ta sama reguła ma minimum \(0\) i maksimum \(1\). Zmieniła się dziedzina, a nie wzór. Puste kółko wyklucza konkretny punkt; sprawdź, czy ta sama wysokość nie jest osiągana gdzie indziej.
Przykład: największa wartość bez zgadywania
Rozważmy \(f(x)=-(x-2)^2+5\) na \(\mathbb R\). Kwadrat jest zawsze nieujemny, więc po zmianie jego znaku otrzymujemy liczbę niedodatnią. Dodanie \(5\) nie pozwala przekroczyć wysokości \(5\).
- Zacznij od własności kwadratu.\((x-2)^2\ge0\)
- Pomnóż nierówność przez \(-1\), odwracając jej znak.\(-(x-2)^2\le0\)
- Dodaj stałą do obu stron.\(f(x)=-(x-2)^2+5\le5\)
- Znajdź argument dający równość i sprawdź go.\(x=2,\qquad f(2)=-(2-2)^2+5=5\)
Największa wartość wynosi \(5\) dla \(x=2\). Najmniejszej nie ma: przy coraz większej odległości \(x\) od \(2\) wyniki spadają bez ograniczenia. Nie zapisujemy „minimum to \(-\infty\)”, ponieważ nieskończoność nie jest osiąganą liczbą.
Zmiana dziedziny zmienia odpowiedź
Funkcja \(g(x)=3-x\) maleje na \([0;5]\). Największy wynik otrzymujemy więc na lewym końcu: \(g(0)=3\). Najmniejszy na prawym: \(g(5)=-2\). W odpowiedzi podajemy maksimum \(3\) i minimum \(-2\), a nie końce przedziału \(0\) i \(5\).
Dla \(h(x)=x^2\) na \([-1;2]\) porównujemy \(h(-1)=1\), \(h(0)=0\) i \(h(2)=4\). Minimum leży wewnątrz przedziału. Sprawdzenie samych końców dałoby błędny wynik najmniejszy.
Kiedy można być pewnym istnienia obu wartości?
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym osiąga zarówno wartość najmniejszą, jak i największą. Ciągłość oznacza tu, że na tym przedziale wykres nie ma przerw ani skoków. Wielomiany, w tym funkcje liniowe i kwadratowe, spełniają ten warunek.
Samo domknięcie przedziału nie wystarcza dla dowolnej funkcji. Nie stosuj tego wniosku automatycznie do wykresów z przerwami. Przy funkcji stałej, np. \(f(x)=7\), minimum i maksimum wynoszą tyle samo: \(7\), dla każdego argumentu z niepustej dziedziny.
Typowy błąd i kontrola
Sprawdź kolejno dziedzinę, wszystkie osiągane wysokości i włączenie punktów granicznych. Jeśli proponujesz minimum lub maksimum, podaj choć jeden dozwolony argument, który je daje, oraz uzasadnij, dlaczego żaden wynik nie jest odpowiednio niższy lub wyższy.