Największa i najmniejsza wartość funkcji

Wyobraź sobie wykres funkcji jako górski krajobraz. Najwyższy punkt to największa wartość funkcji, a najniższy punkt to wartość najmniejsza. Nie pytamy wtedy, gdzie leży punkt, ale jaką wysokość y funkcja osiąga.

Co oznacza największa wartość funkcji?

Największa wartość funkcji to największa liczba y, jaką funkcja przyjmuje w rozpatrywanej dziedzinie lub na wskazanym przedziale.

Co oznacza najmniejsza wartość funkcji?

Najmniejsza wartość funkcji to najmniejsza liczba y osiągana przez funkcję w danym zbiorze argumentów.

Wartość a argument

Trzeba odróżnić wartość ekstremalną od argumentu, dla którego jest osiągana. Jeżeli najwyższy punkt wykresu ma współrzędne (3,7), to największa wartość funkcji wynosi 7 i jest osiągana dla x=3.

Jak odczytać wartości z wykresu?

• Znajdź najwyżej położony punkt lub fragment wykresu.
• Odczytaj jego współrzędną y — to wartość największa.
• Znajdź najniżej położony punkt.
• Odczytaj jego współrzędną y — to wartość najmniejsza.

Czy funkcja zawsze ma maksimum i minimum?

Nie. Funkcja może rosnąć bez ograniczeń albo zbliżać się do pewnej wartości, nigdy jej nie osiągając. Dlatego zawsze trzeba sprawdzić, czy najwyższa lub najniższa wartość rzeczywiście należy do zbioru wartości.

Funkcja kwadratowa

Dla funkcji f(x)=ax²+bx+c kluczowy jest wierzchołek paraboli.

• Gdy a>0, ramiona są skierowane w górę, więc wierzchołek daje wartość najmniejszą.
• Gdy a<0, ramiona są skierowane w dół, więc wierzchołek daje wartość największą.

Współrzędna x wierzchołka to x_w=-b/(2a), a wartość ekstremalna to f(x_w).

Funkcja na przedziale domkniętym

Gdy funkcję rozpatrujemy na przedziale domkniętym [a,b], należy porównać wartości w ważnych punktach: na końcach przedziału oraz w punktach, w których funkcja zmienia kierunek.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim S-Z-C-Z-Y-T: Sprawdź dziedzinę, Znajdź punkty zwrotne, Czytaj wysokości, Zbadaj końce przedziału, Y wybierz największe i najmniejsze, Trafnie podaj argumenty. Wyobraź sobie swój pokój zamieniony w góry. Na szafie stoi gigantyczna złota korona MAX, a pod łóżkiem otwiera się lodowa studnia MIN. Każdy punkt wykresu wspina się po meblach. Korona przykleja się do najwyższego y, a studnia wciąga najniższe y. Liczby x stoją obok jak tabliczki z adresem i pokazują, gdzie te wartości zostały osiągnięte.

Przykład krok po kroku

Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x)=x²-4x+7.

• Krok 1: Współczynnik a=1>0, więc parabola jest skierowana w górę i ma minimum.
• Krok 2: Oblicz x wierzchołka: x_w=-(-4)/(2·1)=2.
• Krok 3: Oblicz wartość funkcji: f(2)=2²-4·2+7=4-8+7=3.
• Krok 4: Najmniejsza wartość funkcji wynosi 3.
• Krok 5: Jest osiągana dla x=2.

Przykład z maksimum

Dla g(x)=-x²+6x-5 współczynnik a=-1<0, więc parabola ma maksimum.

• x_w=-6/(2·(-1))=3.
• g(3)=-9+18-5=4.
• Największa wartość funkcji wynosi 4 i jest osiągana dla x=3.

Przykład na przedziale

Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji h(x)=x²-2x na przedziale [0,3].

• Krok 1: Wierzchołek ma x_w=1, który należy do przedziału.
• Krok 2: h(0)=0.
• Krok 3: h(1)=-1.
• Krok 4: h(3)=9-6=3.
• Krok 5: Najmniejsza wartość to -1 dla x=1.
• Krok 6: Największa wartość to 3 dla x=3.

Punkt otwarty na wykresie

Jeżeli najwyższy widoczny punkt jest zaznaczony kółkiem otwartym, funkcja nie osiąga tej wartości. Może mieć kres górny, ale nie ma wartości największej.

Najczęstsze błędy

• Podawanie argumentu x zamiast wartości y.
• Pomijanie końców przedziału przy porównywaniu wartości.
• Zakładanie, że każda funkcja ma maksimum i minimum.
• Uznawanie punktu otwartego za wartość osiąganą.
• Mylenie kierunku ramion paraboli: a>0 daje minimum, a<0 maksimum.
• Obliczenie x wierzchołka bez podstawienia go do wzoru funkcji.

Najczęstsze pytania