Wartości dodatnie i ujemne funkcji

Wyobraź sobie oś x jako poziom morza. Gdy wykres funkcji znajduje się nad nią, wartości funkcji są dodatnie. Gdy wykres schodzi pod oś x, wartości są ujemne. Punkty leżące dokładnie na osi x oznaczają wartość równą zero.

Co oznacza, że funkcja ma wartość dodatnią?

Funkcja f ma wartość dodatnią dla danego argumentu x, gdy f(x)>0. Na wykresie odpowiadają temu punkty położone nad osią x.

Co oznacza wartość ujemna?

Funkcja ma wartość ujemną, gdy f(x)<0. Na wykresie punkty leżą wtedy pod osią x.

Kiedy wartość funkcji jest równa zero?

Wartość f(x)=0 występuje w miejscach zerowych funkcji, czyli tam, gdzie wykres przecina lub dotyka osi x.

Jak odczytywać znak funkcji z wykresu?

• Znajdź miejsca zerowe i zaznacz je na osi x.
• Podziel oś x na przedziały wyznaczone przez te punkty.
• Sprawdź, czy wykres w każdym przedziale leży nad, czy pod osią x.
• Zapisz przedziały, na których f(x)>0 oraz f(x)<0.

Wartość funkcji a argument

Nie myl znaku argumentu x ze znakiem wartości f(x). Dla ujemnego argumentu funkcja może mieć wartość dodatnią, a dla dodatniego argumentu — wartość ujemną. Liczy się położenie wykresu względem osi x.

Znak funkcji liniowej

Dla funkcji liniowej f(x)=ax+b najpierw wyznacz miejsce zerowe, a następnie sprawdź położenie wykresu po obu jego stronach. Jeżeli a>0, wykres przechodzi z wartości ujemnych do dodatnich. Jeżeli a<0, przechodzi z dodatnich do ujemnych.

Znak funkcji kwadratowej

Dla funkcji kwadratowej f(x)=ax²+bx+c znak zależy od miejsc zerowych i kierunku ramion paraboli.

• Gdy a>0 i są dwa miejsca zerowe, funkcja jest dodatnia na zewnątrz przedziału między nimi, a ujemna wewnątrz.
• Gdy a<0 i są dwa miejsca zerowe, funkcja jest ujemna na zewnątrz, a dodatnia wewnątrz.
• Gdy nie ma miejsc zerowych, znak funkcji jest stały i zależy od znaku a.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim Z-O-N-A: Znajdź miejsca zerowe, Oddziel przedziały, Nad osią zapisz plus, A pod osią minus. Wyobraź sobie, że oś x to laserowa lina rozciągnięta przez twój pokój. Nad nią fruwają gigantyczne zielone balony z plusem, a pod nią skaczą czerwone stworki z minusem. Miejsca zerowe to wielkie bramy, przez które wykres przebija linę i zmienia strefę. Idąc od lewej do prawej przez pokój, przy każdej bramie sprawdzasz, czy wykres trafił do krainy plusów czy minusów.

Przykład krok po kroku

Wyznacz, dla jakich argumentów funkcja f(x)=2x-6 przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.

• Krok 1: Znajdź miejsce zerowe: 2x-6=0.
• Krok 2: 2x=6, więc x=3.
• Krok 3: Współczynnik kierunkowy a=2>0, więc wykres rośnie.
• Krok 4: Dla x<3 wykres leży pod osią x, więc f(x)<0.
• Krok 5: Dla x>3 wykres leży nad osią x, więc f(x)>0.
• Krok 6: Dla x=3 funkcja ma wartość 0.

Przykład z funkcją kwadratową

Zbadaj znak funkcji g(x)=x²-5x+6.

• Krok 1: Rozłóż wielomian: g(x)=(x-2)(x-3).
• Krok 2: Miejsca zerowe to x=2 i x=3.
• Krok 3: Współczynnik a=1>0, więc ramiona paraboli są skierowane w górę.
• Krok 4: Funkcja jest dodatnia dla x<2 oraz x>3.
• Krok 5: Funkcja jest ujemna dla 2<x<3.
• Krok 6: Dla x=2 i x=3 funkcja ma wartość 0.

Przykład bez miejsc zerowych

Dla h(x)=x²+4 wyróżnik jest ujemny, więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Ponieważ a=1>0, cała parabola leży nad osią x, zatem h(x)>0 dla każdego x.

Jak zapisywać odpowiedź?

Przedziały dla wartości dodatnich i ujemnych zapisujemy bez miejsc zerowych, ponieważ nierówności są ostre.

• f(x)>0: x należy do (-∞,2)∪(3,∞).
• f(x)<0: x należy do (2,3).
• f(x)=0: x=2 lub x=3.

Najczęstsze błędy

• Mylenie dodatniego argumentu x z dodatnią wartością funkcji.
• Włączanie miejsc zerowych do przedziałów f(x)>0 lub f(x)<0.
• Odczytywanie znaku względem osi y zamiast osi x.
• Pomijanie części wykresu po lewej stronie pierwszego miejsca zerowego.
• Stosowanie reguły znaków funkcji kwadratowej bez sprawdzenia znaku współczynnika a.
• Zakładanie, że funkcja bez miejsc zerowych musi być dodatnia.

Najczęstsze pytania