Funkcja ma wartości dodatnie tam, gdzie \(f(x)\gt0\), a ujemne tam, gdzie \(f(x)\lt0\). Na wykresie oznacza to położenie nad lub pod osią poziomą. Odpowiedzią jest zbiór argumentów, dla których zachodzi wskazany warunek.
Znak argumentu nie jest znakiem wyniku
W punkcie \((-2,3)\) argument jest ujemny, lecz wartość dodatnia. W punkcie \((2,-3)\) jest odwrotnie. Pytanie o dodatnie wartości dotyczy drugiej współrzędnej, ale w odpowiedzi zapisujemy pierwsze współrzędne pasujących punktów.
Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne. Warunek „nieujemna” oznacza \(f(x)\ge0\) i dopuszcza zero. „Niedodatnia” oznacza \(f(x)\le0\). Słowo „nie” zmienia więc sposób traktowania miejsc zerowych.
Jak odczytać znak z wykresu?
Najpierw znajdź miejsca zerowe, czyli argumenty punktów na osi \(x\). Następnie zaznacz części wykresu powyżej i poniżej tej osi. Odczytaj odpowiadające im przedziały na osi poziomej. Uwzględnij dziedzinę i puste punkty.
Dla \(f(x)=x^2-4\) zera to \(-2\) i \(2\). Między nimi wykres leży pod osią, poza nimi nad nią. To nie jest reguła dla każdej funkcji: przy ramionach paraboli skierowanych w dół znaki są odwrotne.
Przykład algebraiczny krok po kroku
Rozłóżmy \(x^2-4\) jako różnicę kwadratów. Dzięki znakom obu czynników uzasadnimy znak na całych przedziałach, a nie tylko w pojedynczych testowanych punktach.
- Wyznacz miejsca zerowe przez rozkład.\(x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x=-2\ \text{lub}\ x=2\)
- Na lewo od obu zer oba czynniki są ujemne, więc ich iloczyn dodatni.\(x\lt-2\ \Longrightarrow\ (x-2)(x+2)\gt0\)
- Między zerami pierwszy czynnik jest ujemny, drugi dodatni.\(-2\lt x\lt2\ \Longrightarrow\ (x-2)(x+2)\lt0\)
- Na prawo od obu zer oba czynniki są dodatnie.\(x\gt2\ \Longrightarrow\ (x-2)(x+2)\gt0\)
Zatem \(f(x)\gt0\) dla \(x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)\), a \(f(x)\lt0\) dla \(x\in(-2;2)\). Kontrola pomocnicza: \(f(-3)=5\), \(f(0)=-4\), \(f(3)=5\).
Końce przedziałów i dziedzina
Dla \(f(x)\ge0\) dołączamy zera: \(x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\). Dla \(f(x)\le0\) otrzymujemy \([-2;2]\). Nawias kwadratowy oznacza włączenie skończonej granicy; przy nieskończoności stosujemy okrągły.
Jeśli tę samą funkcję określono tylko na \([0;3]\), ujemne wartości występują dla \(x\in[0;2)\). Punkt \(0\) dołączamy, ponieważ należy do dziedziny i \(f(0)=-4\lt0\). Ostry znak nierówności nie oznacza, że wszystkie końce odpowiedzi muszą być otwarte.
Kiedy znak się nie zmienia?
Dla \(g(x)=(x-1)^2\) mamy \(g(1)=0\), ale po obu stronach tego punktu wartości są dodatnie. Przejście przez miejsce zerowe nie zawsze zmienia znak. Dla \(h(x)=x^2+1\) nie ma zer i wszystkie wartości są dodatnie.
W ułamku trzeba uwzględnić także zera mianownika. Funkcja \(\frac1x\) zmienia znak po obu stronach zera, mimo że nie ma miejsca zerowego. Punkt \(0\) jest wykluczony. Dziedzina oraz miejsca zerowe razem wskazują, gdzie należy rozdzielić analizę.
Typowy błąd
Na koniec sprawdź jedną liczbę z każdej wybranej części i osobno granice. Nie myl funkcji dodatniej z rosnącą: dodatnia może maleć, a ujemna może rosnąć.