Przesuwanie wykresów funkcji

Wyobraź sobie wykres funkcji jako przezroczystą naklejkę przyklejoną do szyby z układem współrzędnych. Możesz przesunąć całą naklejkę w górę, w dół, w lewo albo w prawo, nie zmieniając jej kształtu. Zmienia się tylko położenie każdego punktu wykresu.

Przesunięcie w górę i w dół

Jeżeli do wartości funkcji dodajemy liczbę k, otrzymujemy wykres funkcji g(x)=f(x)+k.

• Gdy k>0, wykres przesuwa się o k jednostek w górę.
• Gdy k<0, wykres przesuwa się o |k| jednostek w dół.

Przykład: wykres g(x)=f(x)+3 powstaje przez przesunięcie wykresu f o 3 jednostki w górę.

Przesunięcie w prawo i w lewo

Jeżeli zmieniamy argument funkcji, otrzymujemy g(x)=f(x-h).

• Gdy h>0, wykres przesuwa się o h jednostek w prawo.
• Funkcja g(x)=f(x+h) przesuwa wykres o h jednostek w lewo.

W przesunięciach poziomych znak działa przeciwnie do intuicji: minus oznacza ruch w prawo, a plus ruch w lewo.

Dlaczego znak poziomy działa odwrotnie?

Aby nowa funkcja przyjęła starą wartość f(a), argument wewnątrz nawiasu musi być równy a. Dla g(x)=f(x-2) trzeba mieć x-2=a, czyli x=a+2. Każdy punkt przesuwa się więc o 2 jednostki w prawo.

Przesunięcie jednocześnie w dwóch kierunkach

Wzór g(x)=f(x-h)+k oznacza przesunięcie wykresu f o h jednostek w prawo i o k jednostek w górę. Jeżeli h lub k są ujemne, kierunek odpowiednio się zmienia.

Jak przesuwają się punkty?

• Przy g(x)=f(x)+k punkt (a,b) przechodzi w (a,b+k).
• Przy g(x)=f(x-h) punkt (a,b) przechodzi w (a+h,b).
• Przy g(x)=f(x-h)+k punkt (a,b) przechodzi w (a+h,b+k).

Wpływ na dziedzinę i zbiór wartości

Przesunięcie poziome zmienia położenie dziedziny, a przesunięcie pionowe zmienia położenie zbioru wartości.

• Jeżeli dziedziną f jest [a,b], to dziedziną f(x-h) jest [a+h,b+h].
• Jeżeli zbiorem wartości f jest [c,d], to zbiorem wartości f(x)+k jest [c+k,d+k].

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj hasło ZEWNĄTRZ NORMALNIE, WEWNĄTRZ ODWROTNIE. Liczba stojąca poza nawiasem funkcji steruje ruchem pionowym dokładnie zgodnie ze znakiem: plus w górę, minus w dół. Liczba przy x wewnątrz nawiasu steruje ruchem poziomym odwrotnie: minus w prawo, plus w lewo. Wyobraź sobie gigantyczną naklejkę z wykresem na podłodze swojego pokoju. Zewnętrzny operator stoi na balkonie i krzyczy kierunek zgodnie ze znakiem. Wewnętrzny operator siedzi w szafie i jest przekornym chochlikiem: pokazuje plus, ale pcha wykres w lewo; pokazuje minus, ale pcha go w prawo.

Akronim K-R-O-K

Kształtu nie zmieniaj, Rozpoznaj położenie liczby, Odczytaj kierunek, Każdy punkt przesuń jednakowo.

Przykład krok po kroku

Opisz, jak powstaje wykres g(x)=(x-3)²+2 z wykresu f(x)=x².

• Krok 1: Liczba -3 znajduje się przy x wewnątrz nawiasu.
• Krok 2: Wewnętrzny minus oznacza przesunięcie o 3 jednostki w prawo.
• Krok 3: Liczba +2 znajduje się poza nawiasem.
• Krok 4: Zewnętrzny plus oznacza przesunięcie o 2 jednostki w górę.
• Krok 5: Wierzchołek paraboli z punktu (0,0) przechodzi do punktu (3,2).
• Krok 6: Kształt i kierunek ramion paraboli pozostają bez zmian.

Przykład z funkcją wartości bezwzględnej

Wykres y=|x+4|-1 powstaje z wykresu y=|x| przez przesunięcie o 4 jednostki w lewo i 1 jednostkę w dół. Wierzchołek przesuwa się z (0,0) do (-4,-1).

Przykład z punktem

Na wykresie f znajduje się punkt (2,5). Wyznacz jego położenie na wykresie g(x)=f(x-4)-3.

• Przesunięcie poziome: 4 jednostki w prawo, więc x=2+4=6.
• Przesunięcie pionowe: 3 jednostki w dół, więc y=5-3=2.
• Nowy punkt ma współrzędne (6,2).

Najczęstsze błędy

• Przesuwanie wykresu f(x-3) w lewo zamiast w prawo.
• Zmiana kształtu wykresu podczas zwykłego przesunięcia.
• Przesuwanie tylko jednego charakterystycznego punktu zamiast całego wykresu.
• Mylenie f(x)+k z f(x+k).
• Nieprawidłowe przesuwanie dziedziny przy zmianie poziomej.
• Dodawanie liczby do współrzędnej x przy przesunięciu pionowym.

Najczęstsze pytania