Przesunięcie wykresu zmienia położenie wszystkich jego punktów o ten sam wektor, bez zmiany kształtu. We wzorze \(g(x)=f(x-p)+q\) liczba \(p\) opisuje przesunięcie poziome, a \(q\) pionowe.
Zacznij od przesunięcia punktu
Wektor \([p,q]\) oznacza: dodaj \(p\) do pierwszej współrzędnej i \(q\) do drugiej. Punkt \((1,4)\) przesunięty o \([2,-3]\) trafia do \((3,1)\). Dodatnia pierwsza współrzędna wektora przesuwa w prawo, ujemna w lewo; dodatnia druga w górę, ujemna w dół.
\((u,v)\) jest punktem starego wykresu. Nowy argument wynosi \(u+p\), a nowa wartość \(v+q\).
Zmiana dotyczy każdego punktu, nie tylko wierzchołka. Odległości między punktami pozostają takie same, więc przesunięcie nie rozciąga ani nie odbija wykresu.
Przesunięcie pionowe: zmieniamy wyniki
Funkcja \(g(x)=f(x)+3\) dla tego samego argumentu daje wynik o \(3\) większy. Jeśli \(f(2)=5\), to \(g(2)=8\). Dlatego wykres przesuwa się w górę. Dla \(f(x)-3\) każdy wynik jest o \(3\) mniejszy i przesuwamy w dół.
Dziedzina przy przesunięciu pionowym nie zmienia się, natomiast wszystkie wartości zwiększają się o dodaną liczbę. Na przykład zakres \([0;+\infty)\) po przesunięciu o \(3\) w dół staje się \([-3;+\infty)\).
Dlaczego minus w argumencie przesuwa w prawo?
W \(g(x)=f(x-2)\) dawną wartość dla argumentu \(0\) otrzymamy przy nowym argumencie \(2\), ponieważ \(2-2=0\). Dawna wartość dla \(5\) pojawi się przy \(7\). Wszystkie punkty przesuwają się zatem o \(2\) w prawo.
Dla \(g(x)=f(x+2)\) dawny argument \(0\) uzyskamy przy \(x=-2\), więc wykres idzie w lewo. Nie zapamiętuj samego hasła „odwrotny znak”: sprawdź, dla jakiego nowego \(x\) wnętrze funkcji daje stary argument.
Przykład z dwoma przesunięciami
Przesuńmy \(f(x)=x^2\) o wektor \([2,-3]\). Najpierw uwzględniamy zmianę argumentu, potem zmianę wyniku.
- Wprowadź przesunięcie o \(2\) w prawo w całym argumencie.\(f(x-2)=(x-2)^2\)
- Odejmij \(3\) od otrzymanej wartości.\(g(x)=(x-2)^2-3\)
- Przesuń dawny wierzchołek według wektora.\((0,0)\longmapsto(2,-3)\)
- Sprawdź drugi punkt, aby skontrolować oba kierunki.\((1,1)\longmapsto(3,-2),\qquad g(3)=1-3=-2\)
Wierzchołek to \((2,-3)\), dziedzina nadal \(\mathbb R\), a zbiór wartości \([-3;+\infty)\). Przesunięta parabola ma te same ramiona i szerokość.
Dziedzina i odczytywanie wektora ze wzoru
Jeśli dziedziną \(f\) jest \([-1;4]\), to dla \(g(x)=f(x-2)\) wymagamy \(-1\le x-2\le4\). Dodanie \(2\) daje nową dziedzinę \([1;6]\). Argumenty przesuwają się tak samo jak punkty.
Ze wzoru \(f(x+4)+1\) odczytujemy wektor \([-4,1]\), bo \(x+4=x-(-4)\). Dla \(|x|-2\) przesunięcie jest pionowe, a dla \(|x-2|\) poziome. Nawias lub znak modułu wskazuje, co jest argumentem funkcji.
Typowy błąd
Sprawdź przesunięcie na jednym znanym punkcie. Oddziel zmianę wewnątrz argumentu od dodawania na zewnątrz funkcji i pamiętaj, że także ograniczona dziedzina przesuwa się w poziomie.