Symetrię wykresów opisujemy przez zmianę znaków współrzędnych punktów. Odbicie względem osi \(x\) daje \(-f(x)\), względem osi \(y\) daje \(f(-x)\), a względem początku układu daje \(-f(-x)\). Szczególnymi przypadkami są funkcje parzyste i nieparzyste.
Trzy odbicia jednego punktu
Punkt \((2,3)\) po odbiciu względem osi poziomej ma współrzędne \((2,-3)\): argument zostaje, zmienia się znak wyniku. Odbicie względem osi pionowej daje \((-2,3)\). Odbicie względem początku układu daje \((-2,-3)\), czyli oba znaki przeciwne.
| Odbicie | Zmiana punktu | Nowa funkcja |
|---|---|---|
| Względem osi \(x\) | \((u,v)\mapsto(u,-v)\) | \(g(x)=-f(x)\) |
| Względem osi \(y\) | \((u,v)\mapsto(-u,v)\) | \(g(x)=f(-x)\) |
| Względem początku układu | \((u,v)\mapsto(-u,-v)\) | \(g(x)=-f(-x)\) |
Odbicie tworzy nowy wykres. Pytanie o parzystość lub nieparzystość sprawdza dodatkowo, czy po odpowiednim odbiciu dostajemy dokładnie ten sam wykres co wcześniej.
Funkcja parzysta: lustrzane odbicie w osi pionowej
Funkcja parzysta spełnia \(f(-x)=f(x)\) dla każdego \(x\) z dziedziny. Przeciwne argumenty mają tę samą wartość. Dla \(f(x)=x^2\) zachodzi \((-x)^2=x^2\), więc funkcja jest parzysta.
Najpierw dziedzina musi być symetryczna względem zera: razem z \(x\) musi zawierać \(-x\). Funkcja \(x^2\) ograniczona do \([0;+\infty)\) nie jest parzysta, ponieważ np. \(2\) jest dozwolone, a \(-2\) nie.
Funkcja nieparzysta: symetria względem początku
Funkcja nieparzysta spełnia \(f(-x)=-f(x)\), również na dziedzinie symetrycznej względem zera. Przeciwne argumenty mają przeciwne wyniki. Dla \(f(x)=x^3\) zachodzi \((-x)^3=-x^3\).
Jeśli dziedzina funkcji nieparzystej zawiera \(0\), musi być \(f(0)=0\), ponieważ wartość w zerze ma być równa swojej przeciwności. Sama równość \(f(0)=0\) nie wystarcza jednak do nieparzystości: funkcja \(x^2\) też spełnia tę równość.
Sprawdzenie algebraiczne krok po kroku
Zbadajmy \(f(x)=x^3-2x\) na \(\mathbb R\). Nie wystarczy sprawdzić dwóch liczb. Przekształcimy wzór dla dowolnego argumentu.
- Sprawdź dziedzinę: każdy argument i jego przeciwność są dozwolone.\(D_f=\mathbb R\)
- Wstaw \(-x\) w każde miejsce zmiennej.\(f(-x)=(-x)^3-2(-x)\)
- Oblicz znaki potęgi i iloczynu.\(f(-x)=-x^3+2x\)
- Wyłącz minus przed cały wzór.\(f(-x)=-(x^3-2x)=-f(x)\)
Funkcja jest nieparzysta. Dla kontroli \(f(2)=4\), a \(f(-2)=-4\). To potwierdza przykład, lecz dowodem jest tożsamość uzyskana dla wszystkich \(x\).
Ani jedna, czy może obie?
Funkcja \(x+1\) nie jest ani parzysta, ani nieparzysta: \(f(-x)=-x+1\) nie jest tożsamościowo równe \(x+1\) ani \(-x-1\). Przeciwnie, funkcja zerowa na symetrycznej dziedzinie jest jednocześnie parzysta i nieparzysta.
W wielomianie same parzyste potęgi, z ewentualną stałą, dają parzystość. Same nieparzyste potęgi bez niezerowej stałej dają nieparzystość. To wygodny skrót dla wielomianów, a nie uniwersalny test dowolnego wzoru.
Typowy błąd
Zawsze zacznij od dziedziny, następnie podstaw \(-x\) z nawiasami i porównaj cały wzór. Nie rozstrzygaj symetrii na podstawie samego fragmentu rysunku.