Funkcja liniowa

Wyobraź sobie taksówkę. Płacisz stałą opłatę początkową, a potem określoną kwotę za każdy kilometr. Całkowity koszt rośnie w stałym tempie, dlatego można go opisać funkcją liniową.

Postać funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma postać f(x)=ax+b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi.

• Współczynnik a określa nachylenie prostej i tempo zmian.
• Współczynnik b jest wartością funkcji dla x=0, czyli punktem przecięcia wykresu z osią y.

Znaczenie współczynnika a

• Gdy a>0, funkcja jest rosnąca.
• Gdy a<0, funkcja jest malejąca.
• Gdy a=0, funkcja jest stała i ma postać f(x)=b.

Wartość |a| mówi, jak stroma jest prosta. Im większa wartość bezwzględna a, tym bardziej stromy wykres.

Znaczenie współczynnika b

Punkt przecięcia z osią y ma współrzędne (0,b). Jeżeli b=3, wykres przechodzi przez punkt (0,3).

Miejsce zerowe

Miejsce zerowe to argument x, dla którego f(x)=0. Dla a≠0 obliczamy je ze wzoru x₀=-b/a.

Jak narysować wykres?

• Wybierz dwa argumenty x.
• Oblicz odpowiadające im wartości f(x).
• Zaznacz dwa punkty w układzie współrzędnych.
• Poprowadź przez nie prostą.

Do narysowania prostej wystarczą dwa różne punkty.

Odczytywanie wzoru z wykresu

Najpierw odczytaj punkt przecięcia z osią y, czyli b. Następnie wyznacz zmianę wartości y przy zmianie x o określoną liczbę. Współczynnik kierunkowy obliczamy jako a=(y₂-y₁)/(x₂-x₁).

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim A-B-M-W: A mówi o nachyleniu, B pokazuje start na osi y, Miejsce zerowe liczysz przez -b/a, Wykres tworzysz z dwóch punktów. Wyobraź sobie prostą jako ogromną rampę w swoim pokoju. Litera A jest silnikiem, który unosi lub opuszcza rampę. Litera B siedzi przy ścianie na osi y i ustawia wysokość startu. Gdy a jest dodatnie, rampa wystrzeliwuje w górę; gdy ujemne, zjeżdża w dół jak szalona zjeżdżalnia.

Przykład krok po kroku

Dana jest funkcja f(x)=2x-4.

• Krok 1: a=2>0, więc funkcja jest rosnąca.
• Krok 2: b=-4, więc wykres przecina oś y w punkcie (0,-4).
• Krok 3: Oblicz miejsce zerowe: 2x-4=0.
• Krok 4: 2x=4, więc x=2.
• Krok 5: Wykres przecina oś x w punkcie (2,0).
• Krok 6: Zaznacz punkty (0,-4) i (2,0), a następnie poprowadź prostą.

Wyznaczanie wzoru z dwóch punktów

Wyznacz wzór prostej przechodzącej przez punkty (1,3) i (4,9).

• Krok 1: a=(9-3)/(4-1)=6/3=2.
• Krok 2: Podstaw punkt (1,3) do wzoru y=2x+b.
• Krok 3: 3=2·1+b, więc b=1.
• Krok 4: Szukana funkcja ma wzór f(x)=2x+1.

Interpretacja w zadaniu tekstowym

Jeżeli abonament kosztuje 30 zł miesięcznie i dodatkowo 5 zł za każdą usługę, koszt opisuje funkcja K(x)=5x+30. Liczba 5 oznacza koszt jednej usługi, a 30 — opłatę stałą.

Proste równoległe i prostopadłe

• Proste o tym samym współczynniku a są równoległe.
• Dwie proste o niezerowych współczynnikach a₁ i a₂ są prostopadłe, gdy a₁·a₂=-1.

Najczęstsze błędy

• Mylenie współczynnika a ze współczynnikiem b.
• Podawanie punktu (b,0) zamiast (0,b).
• Zapominanie o znaku minus we wzorze x₀=-b/a.
• Odwracanie kolejności różnic przy obliczaniu a tylko w liczniku albo tylko w mianowniku.
• Rysowanie prostej na podstawie jednego punktu.
• Zakładanie, że każda funkcja liniowa ma miejsce zerowe — funkcja stała niezerowa go nie ma.

Najczęstsze pytania