Funkcja liniowa ma postać \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a\) i \(b\) są stałymi liczbami. Jej wykresem na dziedzinie \(\mathbb R\) jest prosta niepionowa. Współczynnik \(a\) opisuje tempo zmian, a \(b\) wartość dla argumentu zero.
Co oznaczają współczynniki?
W funkcji \(f(x)=2x-3\) mamy \(a=2\) i \(b=-3\). Gdy argument zwiększa się o \(1\), wynik zwiększa się o \(2\). Dla \(x=0\) dostajemy \(-3\), więc wykres przecina oś pionową w punkcie \((0,-3)\).
\(a\) jest współczynnikiem kierunkowym, \(b\) wyrazem wolnym, a \(h\) zmianą argumentu. Wzrost argumentu o \(h\) zmienia wynik o \(ah\).
Liczba \(b\) nie jest punktem: punktem jest para \((0,b)\). Nie jest też automatycznie miejscem zerowym, bo to wymaga wyniku równego zero.
Jak narysować prostą?
Wybierz dwa różne argumenty i oblicz ich wartości. Dla \(2x-3\) wygodne są \(0\) i \(2\): otrzymujemy punkty \((0,-3)\) oraz \((2,1)\). Zaznacz je na osiach z czytelną podziałką i poprowadź przez nie prostą.
Dwa różne punkty wyznaczają jedną prostą, ale w wykresie funkcji nie mogą mieć tego samego argumentu i różnych wartości. Prosta pionowa \(x=2\) nie jest wykresem funkcji \(y=f(x)\): jednemu argumentowi przypisywałaby wiele wyników.
Rosnąca, malejąca i stała
Dodatnie \(a\) daje funkcję rosnącą, ujemne malejącą, a \(a=0\) stałą. Na przykład \(-3x+6\) maleje, ponieważ każdy krok o \(1\) w prawo obniża wynik o \(3\).
Wyraz wolny przesuwa prostą w pionie, ale nie zmienia jej nachylenia. Funkcje \(2x-3\) i \(2x+5\) rosną tak samo szybko. Sam dodatni wyraz wolny nie zapewnia dodatnich wartości na całej dziedzinie.
Przykład: miejsce zerowe i znak
Zbadajmy \(f(x)=-3x+6\). Dziedziną jest \(\mathbb R\); ponieważ współczynnik przy \(x\) jest niezerowy, zbiorem wartości również jest \(\mathbb R\).
- Odczytaj współczynniki ze znakami.\(a=-3,\qquad b=6\)
- Przyrównaj funkcję do zera.\(-3x+6=0\ \Longrightarrow\ x=2\)
- Sprawdź punkt na osi poziomej.\(f(2)=-6+6=0\)
- Rozwiąż warunek dodatniości, odwracając znak przy dzieleniu przez liczbę ujemną.\(-3x+6\gt0\ \Longrightarrow\ -3x\gt-6\ \Longrightarrow\ x\lt2\)
Zatem wartości dodatnie występują dla \(x\lt2\), ujemne dla \(x\gt2\), a zero przy \(x=2\). Prosta przecina oś pionową w \((0,6)\), poziomą w \((2,0)\).
Co się dzieje, gdy \(a=0\)?
Wzór na miejsce zerowe \(x_0=-\frac ba\) wolno stosować tylko przy \(a\ne0\). Funkcja \(f(x)=7\) nigdy nie daje zera, więc nie ma miejsc zerowych. Funkcja \(f(x)=0\) daje zero dla każdego dozwolonego argumentu.
Na pełnej dziedzinie funkcja stała ma zbiór wartości \(\{b\}\). Gdy w zadaniu ograniczono dziedzinę, wykres funkcji liniowej może być tylko odcinkiem, półprostą lub zbiorem punktów. Zawsze zachowuj to ograniczenie.
Typowy błąd
Sprawdź współczynniki, przecięcia z osiami i znak nachylenia osobno. Podstawienie znalezionych punktów do wzoru szybko wykrywa pomylenie argumentu z wynikiem.