Współczynnik kierunkowy prostej niepionowej to stosunek zmiany wysokości do zmiany argumentu. Mówi, o ile zmienia się \(y\), gdy \(x\) zwiększa się o jedną jednostkę. W równaniu \(y=ax+b\) jest nim liczba \(a\).
Zmiana wysokości i zmiana pozioma
Przejdźmy od punktu \((0,1)\) do \((4,3)\). Argument zwiększył się o \(4\), a wynik o \(2\). Na jedną jednostkę poziomą przypada zatem \(\frac24=\frac12\) jednostki wysokości. Nachylenie nie jest samą różnicą wysokości.
Symbole \(\Delta x\) i \(\Delta y\) oznaczają zmiany współrzędnych. W obu odejmowaniach zachowujemy tę samą kolejność punktów.
Gdy po zmianie argumentu o \(2\) wynik rośnie o \(6\), współczynnik wynosi \(3\), a nie \(6\). Zależność można też odwrócić: \(\Delta y=a\Delta x\).
Nachylenie na rysunku
Trójkąt pomocniczy pokazuje najpierw przesunięcie poziome, a potem pionowe. Jego boki służą do obliczenia stosunku zmian. Nie trzeba znać długości ukośnego odcinka.
Nachylenie odczytuj z wartości na osiach, nie z wizualnego kąta na ekranie. Przy różnych skalach osi prosta o współczynniku \(1\) nie musi wyglądać na nachyloną pod kątem \(45^\circ\).
Przykład z ujemną współrzędną
Obliczmy nachylenie prostej przez \(A=(-1,2)\) i \(B=(3,10)\). W obu różnicach przyjmiemy „punkt \(B\) minus punkt \(A\)”.
- Oblicz zmianę drugiej współrzędnej.\(\Delta y=10-2=8\)
- Oblicz zmianę pierwszej współrzędnej, zachowując nawias przy liczbie ujemnej.\(\Delta x=3-(-1)=4\)
- Podziel zmianę wysokości przez zmianę poziomą.\(a=\frac84=2\)
- Sprawdź odczyt jako zmianę wartości.\(\Delta y=2\cdot4=8\)
Można odejmować w odwrotnej kolejności, ale w obu miejscach: \(\frac{2-10}{-1-3}=\frac{-8}{-4}=2\). Zmiana kolejności tylko w liczniku lub tylko w mianowniku daje błędny znak.
Co mówi znak i wartość współczynnika?
Przy \(a\gt0\) prosta rośnie, przy \(a\lt0\) maleje, a przy \(a=0\) jest pozioma. Dla \(a=-3\) zwiększenie \(x\) o \(2\) daje zmianę \(y\) równą \(-6\), czyli spadek o \(6\).
Przy tych samych skalach większe \(|a|\) oznacza bardziej stromy przebieg. Wśród rosnących prostych \(y=x\), \(y=2x\) i \(y=5x\) najbardziej stroma jest ostatnia. Prosta \(y=-6x\) jest jeszcze bardziej stroma w sensie wartości bezwzględnej nachylenia, lecz maleje.
Dla prostej niepionowej \(a=\tan\alpha\), gdzie \(\alpha\in[0^\circ;180^\circ)\) jest kątem od dodatniego kierunku osi \(x\), mierzonym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara do kierunku prostej. Dla \(a=1\) mamy \(\alpha=45^\circ\), a dla \(a=-1\) — \(135^\circ\).
Prosta pozioma i pionowa
Dla punktów \((1,7)\), \((4,7)\) licznik wynosi zero, więc \(a=0\). Otrzymujemy prostą \(y=7\). Natomiast punkty \((2,1)\), \((2,5)\) leżą na pionowej prostej \(x=2\): mianownik we wzorze wynosi zero.
Prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego w postaci \(y=ax+b\). Nie przypisujemy jej nachylenia zero ani nie wykonujemy dzielenia przez zero. Jeśli podano dwa identyczne punkty, nie wyznaczają one jednej konkretnej prostej.
Typowy błąd
Kontroluj kolejność, nawiasy i niezerowy mianownik. Na koniec porównaj znak wyniku z kierunkiem przejścia: jeśli przy ruchu w prawo wysokość wzrosła, współczynnik powinien być dodatni.