Współczynnik kierunkowy prostej

Wyobraź sobie górską drogę. Na każdym metrze w poziomie możesz zyskać wysokość, stracić ją albo jechać płasko. Współczynnik kierunkowy opisuje właśnie to tempo zmiany.

Co to jest współczynnik kierunkowy?

Dla prostej opisanej wzorem y=ax+b liczba a jest współczynnikiem kierunkowym.

• Gdy a>0, prosta rośnie od lewej do prawej.
• Gdy a<0, prosta maleje od lewej do prawej.
• Gdy a=0, prosta jest pozioma.

Interpretacja jako tempo zmiany

Współczynnik a mówi, o ile zmienia się wartość y, gdy x zwiększa się o 1.

• Dla a=3 wzrost x o 1 powoduje wzrost y o 3.
• Dla a=-2 wzrost x o 1 powoduje spadek y o 2.
• Dla a=1/2 wzrost x o 2 powoduje wzrost y o 1.

Obliczanie z dwóch punktów

Jeżeli prosta przechodzi przez punkty (x₁,y₁) oraz (x₂,y₂), to:

a=(y₂-y₁)/(x₂-x₁), pod warunkiem że x₁≠x₂.

Licznik opisuje zmianę pionową, a mianownik zmianę poziomą.

Jak odczytać a z wykresu?

• Wybierz dwa punkty leżące na prostej.
• Policz zmianę y między punktami.
• Policz zmianę x między punktami.
• Podziel zmianę y przez zmianę x.

Znak i stromość

Znak współczynnika określa kierunek, a jego wartość bezwzględna stromość.

• a=5 daje prostą bardziej stromą niż a=2.
• a=-4 daje prostą bardziej stromą niż a=-1.
• a=1 i a=-1 mają tę samą stromość, ale przeciwny kierunek.

Proste równoległe i prostopadłe

• Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe.
• Proste prostopadłe o niezerowych współczynnikach spełniają warunek a₁·a₂=-1.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-I-O-N: Punkty wybierz, Ile zmieniło się y policz, O ile zmieniło się x policz, Na końcu podziel. Wyobraź sobie gigantyczną drabinę opartą o ścianę. Najpierw wspinasz się pionowo po zmianie y, potem robisz krok poziomo po zmianie x. Jeśli wejdziesz 6 szczebli i przesuniesz się 3 kafelki, nachylenie wynosi 6/3=2. Gdy schodzisz zamiast wchodzić, licznik staje się ujemny i prosta opada.

Przykład krok po kroku

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A=(1,2) i B=(5,10).

• Krok 1: Zmiana y wynosi 10-2=8.
• Krok 2: Zmiana x wynosi 5-1=4.
• Krok 3: a=8/4=2.
• Krok 4: Oznacza to, że przy wzroście x o 1 wartość y rośnie o 2.

Przykład z ujemnym współczynnikiem

Prosta przechodzi przez punkty (2,7) i (6,-1).

• Krok 1: Zmiana y wynosi -1-7=-8.
• Krok 2: Zmiana x wynosi 6-2=4.
• Krok 3: a=-8/4=-2.
• Krok 4: Prosta jest malejąca.

Dlaczego kolejność odejmowania jest ważna?

Możesz odejmować drugi punkt od pierwszego albo pierwszy od drugiego, ale musisz zachować tę samą kolejność w liczniku i mianowniku. Na przykład (10-2)/(5-1)=8/4 oraz (2-10)/(1-5)=-8/-4 dają ten sam wynik.

Interpretacja w zadaniach

Jeżeli koszt rośnie o 4 zł za każdą dodatkową godzinę, współczynnik kierunkowy wynosi 4. Jeżeli temperatura spada o 2 stopnie na każdy kilometr wysokości, współczynnik kierunkowy wynosi -2.

Szczególny przypadek prostej pionowej

Prosta pionowa ma równanie x=c. Nie jest wykresem funkcji y=f(x), a jej współczynnik kierunkowy nie jest określony, ponieważ w mianowniku wzoru pojawiłoby się x₂-x₁=0.

Najczęstsze błędy

• Dzielenie zmiany x przez zmianę y zamiast odwrotnie.
• Zmiana kolejności odejmowania tylko w liczniku albo tylko w mianowniku.
• Mylenie współczynnika kierunkowego a z wyrazem wolnym b.
• Zakładanie, że większa liczba ujemna oznacza większą stromość — liczy się wartość bezwzględna.
• Próba obliczenia współczynnika dla prostej pionowej.
• Odczytywanie punktów, które nie leżą dokładnie na prostej.

Najczęstsze pytania