Równanie prostej

Wyobraź sobie prostą drogę zaznaczoną na mapie. Aby ją jednoznacznie opisać, trzeba wiedzieć, jak jest nachylona i przez jaki punkt przechodzi. Równanie prostej zamienia te informacje w krótki wzór.

Postać kierunkowa

Najczęściej używamy postaci y=ax+b.

• a jest współczynnikiem kierunkowym i opisuje nachylenie.
• b jest wyrazem wolnym i wskazuje punkt przecięcia z osią y.

Jeżeli znamy a i b, możemy od razu narysować prostą.

Postać ogólna

Równanie prostej można też zapisać jako Ax+By+C=0, gdzie A i B nie są jednocześnie równe zero.

Gdy B≠0, możemy przekształcić tę postać do kierunkowej: y=(-A/B)x-C/B.

Prosta przechodząca przez punkt

Jeżeli znamy współczynnik kierunkowy a i punkt (x₀,y₀), wygodna jest postać:

y-y₀=a(x-x₀).

Nazywamy ją postacią punkt-kierunek.

Równanie z dwóch punktów

Jeżeli znamy dwa różne punkty A=(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂), najpierw liczymy:

a=(y₂-y₁)/(x₂-x₁), o ile x₁≠x₂.

Następnie podstawiamy jeden z punktów do wzoru y=ax+b i obliczamy b.

Prosta pozioma i pionowa

• Prosta pozioma ma równanie y=c i współczynnik kierunkowy a=0.
• Prosta pionowa ma równanie x=c i nie ma postaci y=ax+b.

Sprawdzanie, czy punkt leży na prostej

Aby sprawdzić, czy punkt należy do prostej, podstawiamy jego współrzędne do równania. Jeżeli otrzymujemy zdanie prawdziwe, punkt leży na prostej.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim N-P-P-S: Nachylenie oblicz, Punkt podstaw, Parametr b wyznacz, Sprawdź wynik. Wyobraź sobie prostą jako ogromny laser w swoim pokoju. Najpierw pokrętło a ustawia jego nachylenie, potem laser musi trafić w wybrany punkt, a suwak b przesuwa go w górę lub w dół. Na końcu wciskasz czerwony przycisk SPRAWDŹ i podstawiasz współrzędne punktu do wzoru.

Przykład krok po kroku

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(1,3) i B=(4,9).

• Krok 1: Obliczamy współczynnik kierunkowy: a=(9-3)/(4-1)=6/3=2.
• Krok 2: Zapisujemy y=2x+b.
• Krok 3: Podstawiamy punkt A: 3=2·1+b.
• Krok 4: b=1.
• Krok 5: Równanie prostej to y=2x+1.
• Krok 6: Sprawdzenie punktu B: 9=2·4+1, czyli 9=9.

Przykład z punktem i nachyleniem

Wyznacz prostą o współczynniku a=-3 przechodzącą przez punkt (2,5).

• Krok 1: Korzystamy z y-5=-3(x-2).
• Krok 2: Rozwijamy: y-5=-3x+6.
• Krok 3: Dodajemy 5: y=-3x+11.

Przekształcanie postaci ogólnej

Przekształć 2x+y-6=0 do postaci kierunkowej.

• Krok 1: y=-2x+6.
• Krok 2: a=-2, b=6.
• Krok 3: Prosta jest malejąca i przecina oś y w punkcie (0,6).

Proste równoległe i prostopadłe

• Prosta równoległa do y=ax+b ma ten sam współczynnik a.
• Prosta prostopadła ma współczynnik -1/a, gdy a≠0.

Aby wyznaczyć konkretne równanie, trzeba dodatkowo znać punkt, przez który prosta przechodzi.

Najczęstsze błędy

• Mylenie współczynnika kierunkowego a z wyrazem wolnym b.
• Podstawianie współrzędnych punktu w odwrotnej kolejności.
• Niezachowanie tej samej kolejności odejmowania przy liczeniu a.
• Próba zapisania prostej pionowej w postaci y=ax+b.
• Brak sprawdzenia równania drugim punktem.
• Błąd znaków podczas przekształcania postaci ogólnej.

Najczęstsze pytania