Równanie prostej opisuje wszystkie punkty, które do niej należą. Prostą niepionową zapisujemy jako \(y=ax+b\). Znając punkt i nachylenie albo dwa różne punkty, możemy wyznaczyć jej równanie.
Jakie dane są potrzebne?
Jedna para współrzędnych nie wystarcza: przez jeden punkt przechodzi wiele prostych. Nachylenie ustala kierunek, a punkt położenie. Dwa różne punkty ustalają oba te elementy.
To równanie prostej o współczynniku \(a\), przechodzącej przez \((x_0,y_0)\). Dotyczy prostej niepionowej. Podstawienie \(x=x_0\) daje od razu \(y=y_0\).
Współczynnik \(b\) jest wartością dla \(x=0\). Nie można odczytać go z dowolnej drugiej współrzędnej. Dla punktu \((2,5)\) zapisujemy \(5=2a+b\), a dopiero po znajomości \(a\) obliczamy \(b\).
Punkt i współczynnik kierunkowy
Wyznaczmy prostą o nachyleniu \(2\), przechodzącą przez \((1,5)\). Zaczynamy od \(y=2x+b\). Podstawiamy obie współrzędne punktu: \(5=2\cdot1+b\), więc \(b=3\). Równanie to \(y=2x+3\).
Drugi sposób daje \(y-5=2(x-1)\), czyli \(y-5=2x-2\), a po dodaniu \(5\): \(y=2x+3\). Oba sposoby są równoważne. Kontrola: dla \(x=1\) prawa strona wynosi \(5\).
Przykład z dwoma punktami
Znajdźmy prostą przez \(A=(-1,0)\) i \(B=(1,4)\). Pierwsze współrzędne są różne, więc możemy zastosować wzór na nachylenie.
- Oblicz współczynnik kierunkowy.\(a=\frac{4-0}{1-(-1)}=\frac42=2\)
- Zapisz postać kierunkową z jedną pozostałą niewiadomą.\(y=2x+b\)
- Podstaw punkt \(A\) i wyznacz wyraz wolny.\(0=2(-1)+b\ \Longrightarrow\ b=2\)
- Zapisz wynik i sprawdź niezależnie punkt \(B\).\(y=2x+2,\qquad 4=2\cdot1+2\)
Równanie przechodzi kontrolę obu punktów. Przy ujemnych współrzędnych nawiasy chronią przed pomyleniem odejmowania liczby ujemnej z odejmowaniem dodatniej.
Pozioma, pionowa i postać ogólna
Prosta pozioma przez \((4,7)\) ma równanie \(y=7\), ponieważ wszystkie jej punkty mają tę samą wysokość. Prosta pionowa przez \((-3,2)\) ma równanie \(x=-3\), ponieważ stała jest pierwsza współrzędna.
Każdą prostą można opisać postacią \(Ax+By+C=0\), gdzie \(A\) i \(B\) nie są jednocześnie zerami. Gdy \(B\ne0\), otrzymujemy \(y=-\frac ABx-\frac CB\). Gdy \(B=0\), równanie opisuje prostą pionową \(x=-\frac CA\).
Przykładowo \(2x-y+3=0\) daje \(y=2x+3\). Równania można mnożyć przez niezerową stałą: opisują wtedy tę samą prostą. Postać ogólna i kierunkowa nie są różnymi prostymi, jeśli po przekształceniu mają te same rozwiązania.
Sprawdzanie punktu i odczyt przecięć
Aby sprawdzić punkt \((2,1)\) na prostej \(y=-x+3\), podstawiamy \(x=2\) i \(y=1\). Otrzymujemy \(1=-2+3\), czyli prawdę. Punkt \((2,2)\) nie pasuje, bo \(2\ne1\).
Punkt na osi \(y\) znajdziesz, wstawiając \(x=0\). Punkt na osi \(x\) znajdziesz, wstawiając \(y=0\). Prosta może nie przecinać jednej z osi albo pokrywać się z nią; nie zakładaj zawsze dwóch różnych przecięć.
Typowy błąd
Najpierw sprawdź, czy prosta jest pionowa. Następnie oblicz nachylenie i położenie. Na końcu podstaw wszystkie podane punkty — zgodność z jednym z nich nie potwierdza jeszcze wykorzystania całych danych.