Równoległość prostych niepionowych rozpoznajemy po równych współczynnikach kierunkowych, a prostopadłość po iloczynie tych współczynników równym \(-1\). Osobno rozpatrujemy proste pionowe i poziome.
Co porównujemy w równaniach?
W postaci \(y=ax+b\) współczynnik \(a\) odpowiada za kierunek, a \(b\) za położenie. Proste \(y=2x+1\) i \(y=2x-3\) mają ten sam kierunek i różne wysokości przecięcia osi pionowej: są różnymi prostymi równoległymi.
Jeśli oba współczynniki \(a\) i \(b\) są takie same, równania opisują tę samą prostą. Zapis \(2y=4x+2\) po podzieleniu przez \(2\) daje \(y=2x+1\); nie jest to druga, odrębna prosta.
Wzory dotyczą prostych zapisanych jako \(y=a_1x+b_1\) oraz \(y=a_2x+b_2\). Proste pionowe wymagają osobnego rozpatrzenia.
Ujemna odwrotność, nie tylko przeciwny znak
Prosta prostopadła do \(y=2x+1\) ma współczynnik \(-\frac12\), ponieważ \(2\cdot(-\frac12)=-1\). Liczba \(-2\) nie pasuje: iloczyn wyniósłby \(-4\).
Dla ujemnego nachylenia, np. \(a_1=-2\), nachylenie prostopadłe wynosi dodatnie \(\frac12\). Ogólny zapis to \(a_2=-\frac1{a_1}\), o ile \(a_1\ne0\).
Przykład: prosta prostopadła przez wskazany punkt
Wyznaczmy prostą prostopadłą do \(y=2x+1\), przechodzącą przez \((2,3)\). Samo nachylenie nie wystarczy: musimy jeszcze dopasować wyraz wolny.
- Odczytaj nachylenie danej prostej i oblicz ujemną odwrotność.\(a_1=2,\qquad a_2=-\frac12\)
- Zapisz równanie z nieznanym wyrazem wolnym.\(y=-\frac12x+b\)
- Podstaw obie współrzędne wskazanego punktu.\(3=-\frac12\cdot2+b\ \Longrightarrow\ b=4\)
- Zapisz wynik i sprawdź oba wymagania.\(y=-\frac12x+4,\qquad 2\cdot\left(-\frac12\right)=-1,\qquad -1+4=3\)
Kontrola iloczynu potwierdza prostopadłość, a podstawienie punktu potwierdza położenie. To dwie niezależne części zadania.
Przykład równoległości
Prosta równoległa do \(y=-x+2\), przechodząca przez \((0,5)\), zachowuje \(a=-1\). Punkt na osi pionowej daje od razu \(b=5\), więc otrzymujemy \(y=-x+5\).
Dla punktu nieleżącego na osi, np. \((2,5)\), trzeba obliczyć \(5=-2+b\), stąd \(b=7\). Wynik to \(y=-x+7\). Nie kopiujemy całego równania danej prostej, tylko jej nachylenie.
Proste pionowe i poziome
Proste \(x=2\) i \(x=-3\) są różnymi prostymi równoległymi. Każda prosta pionowa jest prostopadła do każdej poziomej, np. \(x=2\) do \(y=5\).
Do poziomej \(y=5\) nie szukamy współczynnika \(-\frac10\). Prostopadła jest pionowa i nie ma postaci \(y=ax+b\). Przez punkt \((4,7)\) prostopadła do \(y=5\) ma równanie \(x=4\).
Gdy podano postać ogólną, najpierw przekształć ją do kierunkowej, jeśli to możliwe. Nie porównuj bezpośrednio współczynników stojących przy \(x\), zanim współczynnik przy \(y\) stanie się równy \(1\).
Typowy błąd
Zakończ zadanie sprawdzeniem kierunku i punktu. Przy równoległości odróżnij dwie różne proste od dwóch zapisów tej samej prostej.