Proste równoległe i prostopadłe

Wyobraź sobie dwie szyny kolejowe biegnące obok siebie oraz ulicę przecinającą je pod kątem prostym. Na wykresie takie układy opisujemy za pomocą równań prostych i ich współczynników kierunkowych.

Najważniejsza idea

Dla prostej zapisanej w postaci y=ax+b liczba a określa jej nachylenie. To właśnie współczynnik kierunkowy pozwala rozpoznać, czy proste są równoległe albo prostopadłe.

Proste równoległe

Dwie różne proste niepionowe są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe:

a₁=a₂.

Ich wyrazy wolne muszą być różne, ponieważ przy takim samym b byłyby tą samą prostą.

• y=3x+1 oraz y=3x-5 są równoległe.
• y=-2x+4 oraz y=-2x+9 są równoległe.

Proste prostopadłe

Dwie niepionowe i niepoziome proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1:

a₁·a₂=-1.

Oznacza to, że współczynnik drugiej prostej jest przeciwną odwrotnością pierwszego:

a₂=-1/a₁.

• Do a=2 współczynnik prostopadły wynosi -1/2.
• Do a=-3 współczynnik prostopadły wynosi 1/3.
• Do a=1/4 współczynnik prostopadły wynosi -4.

Przypadek szczególny

• Proste pionowe x=c są równoległe do innych prostych pionowych.
• Proste poziome y=c są równoległe do innych prostych poziomych.
• Każda prosta pionowa jest prostopadła do każdej prostej poziomej.

Jak wyznaczyć prostą równoległą?

Jeżeli szukana prosta ma być równoległa do y=ax+b, zachowujemy ten sam współczynnik a. Następnie podstawiamy podany punkt i obliczamy nowy wyraz wolny.

Jak wyznaczyć prostą prostopadłą?

Najpierw zamieniamy współczynnik a na przeciwną odwrotność. Potem korzystamy z punktu, przez który ma przechodzić nowa prosta.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj hasło RÓWNE — ODWROTNE. Równoległe mają równe współczynniki, a prostopadłe mają współczynniki odwrotne i z przeciwnym znakiem. Wyobraź sobie dwie gigantyczne narty jadące obok siebie — na obu świeci ta sama liczba a. Nagle jedna narta wpada na sprężynę, obraca się o 90 stopni, a liczba 2 zamienia się w -1/2. Ten absurdalny obrót przypomina, że przy prostopadłości odwracasz ułamek i zmieniasz znak.

Akronim procesu: K-P-P-S

• Kierunek odczytaj, czyli znajdź a.
• Porównaj albo przekształć współczynnik.
• Punkt podstaw do równania.
• Sprawdź warunek równoległości lub prostopadłości.

Przykład krok po kroku: prosta równoległa

Wyznacz równanie prostej równoległej do y=2x-3 i przechodzącej przez punkt (4,5).

• Krok 1: Prosta równoległa ma ten sam współczynnik, więc a=2.
• Krok 2: Zapisujemy y=2x+b.
• Krok 3: Podstawiamy punkt: 5=2·4+b.
• Krok 4: 5=8+b, więc b=-3.
• Krok 5: Otrzymujemy y=2x-3.
• Krok 6: To dokładnie ta sama prosta, ponieważ podany punkt leży na prostej wyjściowej.

Ten przykład pokazuje ważną uwagę: przez punkt leżący na danej prostej nie można poprowadzić innej prostej równoległej — otrzymujemy tę samą prostą.

Przykład krok po kroku: inna prosta równoległa

Wyznacz prostą równoległą do y=2x-3 przechodzącą przez punkt (1,4).

• Krok 1: a=2.
• Krok 2: y=2x+b.
• Krok 3: 4=2·1+b.
• Krok 4: b=2.
• Krok 5: Równanie to y=2x+2.

Przykład krok po kroku: prosta prostopadła

Wyznacz prostą prostopadłą do y=3x+1 przechodzącą przez punkt (6,2).

• Krok 1: Współczynnik danej prostej to 3.
• Krok 2: Przeciwna odwrotność liczby 3 to -1/3.
• Krok 3: Zapisujemy y=(-1/3)x+b.
• Krok 4: Podstawiamy punkt: 2=(-1/3)·6+b.
• Krok 5: 2=-2+b, więc b=4.
• Krok 6: Równanie to y=(-1/3)x+4.
• Krok 7: Sprawdzenie: 3·(-1/3)=-1.

Rozpoznawanie z postaci ogólnej

Jeżeli prosta jest podana jako Ax+By+C=0 i B≠0, najpierw przekształcamy ją do y=ax+b. Współczynnik kierunkowy wynosi wtedy a=-A/B.

Przykład: 2x-4y+7=0 daje y=(1/2)x+7/4, więc a=1/2.

Najczęstsze błędy

• Porównywanie wyrazów wolnych b zamiast współczynników a.
• Uznawanie prostych o przeciwnych współczynnikach za prostopadłe, np. 2 i -2.
• Odwracanie ułamka bez zmiany znaku.
• Zmiana znaku bez odwrócenia ułamka.
• Zapominanie o szczególnym przypadku prostych pionowych i poziomych.
• Brak sprawdzenia, czy punkt leży na wyznaczonej prostej.
• Nieodróżnianie prostych równoległych od tej samej prostej.

Najczęstsze pytania