Funkcja kwadratowa

Rzucona piłka wznosi się, osiąga najwyższy punkt, a potem spada. Jej tor przypomina parabolę — wykres funkcji kwadratowej.

Postać ogólna

Funkcja kwadratowa ma postać f(x)=ax²+bx+c, gdzie a≠0.

• a decyduje o kierunku i szerokości ramion paraboli.
• b wpływa na położenie osi symetrii i wierzchołka.
• c jest wartością f(0), więc wykres przecina oś y w punkcie (0,c).

Kierunek ramion

• Gdy a>0, ramiona paraboli są skierowane w górę.
• Gdy a<0, ramiona paraboli są skierowane w dół.

Im większe |a|, tym parabola jest węższa. Im mniejsze |a|, tym jest szersza.

Wierzchołek i oś symetrii

Współrzędna x wierzchołka wynosi x_w=-b/(2a). Następnie obliczamy y_w=f(x_w).

Oś symetrii ma równanie x=x_w.

Delta i miejsca zerowe

Liczymy deltę: Δ=b²-4ac.

• Gdy Δ>0, funkcja ma dwa miejsca zerowe.
• Gdy Δ=0, funkcja ma jedno miejsce zerowe.
• Gdy Δ<0, funkcja nie ma rzeczywistych miejsc zerowych.

Dla Δ≥0 stosujemy wzory x₁=(-b-√Δ)/(2a) oraz x₂=(-b+√Δ)/(2a).

Postać kanoniczna

Postać kanoniczna to f(x)=a(x-p)²+q. Wierzchołek ma wtedy współrzędne (p,q).

Ta postać jest najlepsza do odczytywania wierzchołka, osi symetrii oraz najmniejszej albo największej wartości funkcji.

Postać iloczynowa

Jeżeli funkcja ma miejsca zerowe x₁ i x₂, można ją zapisać jako f(x)=a(x-x₁)(x-x₂).

Gdy istnieje jedno miejsce zerowe x₀, zapisujemy f(x)=a(x-x₀)².

Zbiór wartości

• Jeżeli a>0, funkcja ma minimum q i zbiór wartości [q,∞).
• Jeżeli a<0, funkcja ma maksimum q i zbiór wartości (-∞,q].

Monotoniczność

• Dla a>0 funkcja maleje do x_w, a potem rośnie.
• Dla a<0 funkcja rośnie do x_w, a potem maleje.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim R-W-Z: Ramiona sprawdź przez znak a, Wierzchołek znajdź przez -b/(2a), Zera ustal z delty. Wyobraź sobie parabolę jako gigantyczną miskę w pokoju. Gdy a jest dodatnie, miska stoi normalnie i kulka spada do minimum. Gdy a jest ujemne, miska odwraca się na sufit, a kulka eksploduje w najwyższym punkcie. Na dnie albo szczycie siedzi wierzchołek, a po obu stronach stoją lustrzane drzwi osi symetrii.

Przykład krok po kroku

Zbadaj funkcję f(x)=x²-4x+3.

• Krok 1: a=1>0, więc ramiona są skierowane w górę.
• Krok 2: x_w=-(-4)/(2·1)=2.
• Krok 3: y_w=f(2)=4-8+3=-1.
• Krok 4: Wierzchołek to (2,-1), a oś symetrii ma równanie x=2.
• Krok 5: Δ=(-4)²-4·1·3=16-12=4.
• Krok 6: x₁=(4-2)/2=1, x₂=(4+2)/2=3.
• Krok 7: Postać iloczynowa: f(x)=(x-1)(x-3).
• Krok 8: Postać kanoniczna: f(x)=(x-2)²-1.
• Krok 9: Zbiór wartości to [-1,∞).

Jak szkicować parabolę?

• Ustal kierunek ramion z liczby a.
• Oblicz wierzchołek i narysuj oś symetrii.
• Wyznacz miejsca zerowe, jeśli istnieją.
• Zaznacz punkt (0,c).
• Dorysuj symetryczne ramiona paraboli.

Interpretacja praktyczna

Jeżeli wysokość piłki opisuje wzór h(t)=-5t²+20t+1, to ujemne a oznacza tor otwarty w dół. Wierzchołek opisuje maksymalną wysokość, a miejsca zerowe mogą wskazywać chwile kontaktu z poziomem odniesienia.

Najczęstsze błędy

• Zapominanie, że w funkcji kwadratowej a nie może być równe zero.
• Mylenie znaku a z wartością c przy ustalaniu kierunku ramion.
• Brak nawiasów przy obliczaniu b², gdy b jest ujemne.
• Pomijanie mianownika 2a we wzorach na miejsca zerowe i wierzchołek.
• Odczytywanie wierzchołka z postaci kanonicznej jako (-p,q) zamiast (p,q).
• Podawanie złego zbioru wartości przez nieuwzględnienie znaku a.
• Rysowanie paraboli bez zachowania symetrii względem osi x=x_w.

Najczęstsze pytania