Funkcja kwadratowa ma postać \(f(x)=ax^2+bx+c\), gdzie \(a\ne0\). Jej wykresem jest parabola. Aby opisać funkcję, ustalamy kierunek ramion, wierzchołek, miejsca zerowe oraz przedziały zmian jej wartości.
Co odróżnia ją od funkcji liniowej?
Najwyższa potęga zmiennej po uproszczeniu wynosi dwa, a jej współczynnik jest niezerowy. W \(2x^2-3x+1\) mamy \(a=2\), \(b=-3\), \(c=1\). Brak wyrazu liniowego oznacza \(b=0\); brak stałej oznacza \(c=0\).
Gdy \(a=0\), znika kwadrat i otrzymujemy funkcję liniową lub stałą. Dlatego warunek \(a\ne0\) jest częścią definicji. Wartość dla zera to \(f(0)=c\), więc punkt przecięcia osi pionowej ma współrzędne \((0,c)\).
Parabola i wierzchołek
Dla \(a\gt0\) ramiona są skierowane w górę, a wierzchołek daje najmniejszą wartość. Dla \(a\lt0\) ramiona idą w dół i wierzchołek daje największą wartość. Parabola jest symetryczna względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek.
\(p\) to argument wierzchołka, \(q\) jego wysokość. Oś symetrii ma równanie \(x=p\), a nie \(y=q\).
Na pełnej dziedzinie \(\mathbb R\) funkcja z ramionami w górę maleje do \(p\), a potem rośnie. Dla ramion w dół kierunki są odwrotne. Sam znak \(a\) nie oznacza więc wzrostu lub spadku na całej prostej.
Przykład pełnego badania
Zbadajmy \(f(x)=x^2-4x+3\). Będziemy odróżniać zera, czyli argumenty dające wynik zero, od wierzchołka, który wskazuje najniższy punkt.
- Odczytaj współczynniki i oblicz deltę.\(a=1,\quad b=-4,\quad c=3,\qquad\Delta=16-12=4\)
- Oblicz miejsca zerowe.\(x_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad x_2=\frac{4+2}{2}=3\)
- Oblicz argument wierzchołka.\(p=-\frac{-4}{2}=2\)
- Podstaw argument, aby znaleźć wysokość.\(q=f(2)=4-8+3=-1\)
Wierzchołek to \((2,-1)\), oś symetrii \(x=2\), a punkt na osi pionowej \((0,3)\). Ramiona idą w górę. Zbiór wartości to \([-1;+\infty)\); funkcja maleje na \((-\infty;2]\), a rośnie na \([2;+\infty)\).
Zera i znaki
Delta \(\Delta=b^2-4ac\) mówi o liczbie miejsc zerowych na \(\mathbb R\): dodatnia daje dwa, zerowa jedno, a ujemna żadnego. Wzory na dwa zera to \(\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\) i \(\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\).
W przykładzie \(f(x)=(x-1)(x-3)\), więc wartości są ujemne między \(1\) i \(3\), a dodatnie poza tym przedziałem. W samych zerach wynik wynosi zero. Na rysunku odpowiada to fragmentowi paraboli pod osią i dwóm fragmentom nad nią.
Co jeszcze zmienia współczynnik a?
W postaci \(a(x-p)^2+q\), przy ustalonych \(p,q\), większe \(|a|\) daje większą zmianę wysokości w tej samej odległości od osi. Wykres wygląda wtedy na węższy przy tej samej skali osi.
Funkcja \(2x^2\) ma przy \(x=1\) wartość \(2\), a \(\frac12x^2\) wartość \(\frac12\). Obie mają wierzchołek w \((0,0)\) i ramiona w górę, lecz inny kształt. Zmiana \(a\) nie jest samym przesunięciem.
Typowy błąd
Przed zakończeniem sprawdź, czy wierzchołek leży na osi symetrii, zera są względem niej symetryczne, a kierunek ramion zgadza się ze znakiem \(a\). Każdy ważny punkt można skontrolować podstawieniem.