Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa to różne zapisy funkcji kwadratowej. Każdy ułatwia odczyt innych informacji. Przekształcenie wzoru musi zachować jego wartość dla każdego argumentu.
Co odczytasz z każdej postaci?
| Postać | Wzór | Informacja widoczna od razu |
|---|---|---|
| Ogólna | \(ax^2+bx+c\) | Współczynniki i \(f(0)=c\) |
| Kanoniczna | \(a(x-p)^2+q\) | Wierzchołek \((p,q)\) |
| Iloczynowa | \(a(x-x_1)(x-x_2)\) | Miejsca zerowe \(x_1,x_2\) |
W każdej postaci \(a\ne0\). Postać kanoniczna istnieje dla każdej funkcji kwadratowej. Postać iloczynowa z rzeczywistymi czynnikami liniowymi istnieje tylko wtedy, gdy są rzeczywiste miejsca zerowe; przy zerze podwójnym oba czynniki są jednakowe.
Dlaczego znak w nawiasie jest przeciwny?
W wyrażeniu \((x-2)^2\) kwadrat zeruje się dla \(x=2\). W \((x+3)^2=(x-(-3))^2\) zeruje się dla \(x=-3\). Dlatego wierzchołek funkcji \((x+3)^2-2\) ma współrzędne \((-3,-2)\).
Podobnie czynnik \(x+2\) wskazuje zero \(-2\), a czynnik \(x-5\) zero \(5\). Zawsze można rozwiązać proste równanie nawiasu równego zero, zamiast zgadywać znak.
Uzupełnianie do kwadratu krok po kroku
Przekształćmy \(x^2-4x+3\). Wiemy, że \((x-2)^2=x^2-4x+4\). W pierwotnym wzorze jest stała \(3\), więc musimy skompensować dodatkową jedynkę.
- Dodaj i odejmij tę samą liczbę.\(x^2-4x+3=x^2-4x+4-4+3\)
- Zastąp pierwsze trzy składniki kwadratem nawiasu.\(x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1\)
- Rozpoznaj różnicę kwadratów.\((x-2)^2-1^2=(x-3)(x-1)\)
- Sprawdź iloczyn przez wymnożenie.\((x-3)(x-1)=x^2-4x+3\)
Otrzymaliśmy trzy postacie tego samego wzoru. Odczytujemy wierzchołek \((2,-1)\), miejsca zerowe \(1,3\) oraz punkt \((0,3)\) na osi pionowej. Wszystkie dotyczą jednej paraboli.
Gdy współczynnik przy kwadracie nie jest jedynką
Dla \(2x^2-8x+6\) najpierw wyłączamy \(2\) z części z kwadratem i wyrazem liniowym: \(2(x^2-4x)+6\). Następnie \(x^2-4x=(x-2)^2-4\), więc dostajemy \(2((x-2)^2-4)+6=2(x-2)^2-2\).
Z postaci ogólnej można też obliczyć \(p=-\frac b{2a}=2\), a następnie \(q=f(2)=-2\). Postać iloczynowa wynosi \(2(x-1)(x-3)\). Nie wolno zgubić czynnika \(2\): same nawiasy miałyby inne wartości.
Kiedy nie ma postaci iloczynowej nad R?
Funkcja \(x^2+1\) ma ujemną deltę i nie ma rzeczywistych zer. Nie da się jej zapisać jako \(a(x-x_1)(x-x_2)\) z rzeczywistymi \(x_1,x_2\). Nadal ma postać kanoniczną: \((x-0)^2+1\).
Dla \((x+2)^2\) istnieje jedno różne miejsce zerowe \(-2\), a postać iloczynowa to \((x+2)(x+2)\). Nie dopisujemy drugiego, przeciwnego zera. Nazwa „iloczynowa” w tym temacie oznacza właśnie iloczyn czynników liniowych.
Typowy błąd i dobór zapisu
Do wierzchołka wybierz postać kanoniczną, do zer iloczynową, a do współczynników ogólną. Jeśli zmieniasz postać, sprawdź ją przez rozwinięcie; zgodność w jednym przypadkowym punkcie nie dowodzi równości wszystkich wartości.