Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa

Wyobraź sobie jedno mieszkanie opisane trzema wskazówkami: numerem ulicy, pinezką na mapie i trasą dojścia. Funkcja kwadratowa również może mieć trzy równoważne postacie, z których każda pokazuje inne informacje.

Trzy postacie tej samej funkcji

• Postać ogólna: f(x)=ax²+bx+c, gdzie a≠0.
• Postać kanoniczna: f(x)=a(x-p)²+q.
• Postać iloczynowa: f(x)=a(x-x₁)(x-x₂), gdy istnieją dwa miejsca zerowe.

Co odczytujemy z postaci ogólnej?

• Znak a wskazuje kierunek ramion paraboli.
• c=f(0), więc punkt przecięcia z osią y to (0,c).
• Z liczb a, b i c obliczamy deltę oraz wierzchołek.

Postać ogólna jest najwygodniejsza do rozwijania wyrażeń i stosowania wzorów z deltą.

Co odczytujemy z postaci kanonicznej?

W funkcji f(x)=a(x-p)²+q wierzchołek ma współrzędne (p,q), a oś symetrii ma równanie x=p.

• Dla a>0 liczba q jest najmniejszą wartością funkcji.
• Dla a<0 liczba q jest największą wartością funkcji.

Uwaga: znak w nawiasie działa odwrotnie. W wyrażeniu (x-3)² mamy p=3, a w (x+3)² mamy p=-3.

Co odczytujemy z postaci iloczynowej?

W funkcji f(x)=a(x-x₁)(x-x₂) miejsca zerowe to x₁ i x₂.

Jeżeli funkcja ma jedno podwójne miejsce zerowe x₀, zapisujemy f(x)=a(x-x₀)². Gdy delta jest ujemna, rzeczywista postać iloczynowa nie istnieje.

Od postaci iloczynowej do ogólnej

Wystarczy wymnożyć nawiasy i uporządkować wyrazy.

Przykład: f(x)=2(x-1)(x+3).

• (x-1)(x+3)=x²+2x-3.
• Po pomnożeniu przez 2 otrzymujemy f(x)=2x²+4x-6.

Od postaci kanonicznej do ogólnej

Rozwijamy kwadrat nawiasu, mnożymy przez a i dodajemy q.

Przykład: f(x)=-2(x-3)²+5.

• (x-3)²=x²-6x+9.
• -2(x²-6x+9)=-2x²+12x-18.
• Dodajemy 5: f(x)=-2x²+12x-13.

Od postaci ogólnej do kanonicznej

Najprościej obliczyć współrzędne wierzchołka:

• p=-b/(2a).
• q=f(p).
• Następnie zapisać f(x)=a(x-p)²+q.

Można też zastosować uzupełnianie do kwadratu.

Od postaci ogólnej do iloczynowej

• Oblicz deltę Δ=b²-4ac.
• Jeśli Δ>0, znajdź dwa miejsca zerowe i zapisz a(x-x₁)(x-x₂).
• Jeśli Δ=0, zapisz a(x-x₀)².
• Jeśli Δ<0, brak postaci iloczynowej nad liczbami rzeczywistymi.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj hasło O-K-I: Obliczenia — Król wierzchołka — Informacja o zerach. Ogólna służy do obliczeń, Kanoniczna pokazuje króla paraboli, czyli wierzchołek, a Iloczynowa informuje o miejscach zerowych. Wyobraź sobie trzy pokoje pałacu pamięci. W pierwszym robot miesza litery a, b, c w kalkulatorze. W drugim na tronie siedzi wierzchołek (p,q). W trzecim dwa gigantyczne zera wyskakują z nawiasów i rozrywają dywan dokładnie w punktach x₁ i x₂.

Akronim zamiany: R-M-O

• Rozpoznaj postać wyjściową i informację, której szukasz.
• Matematycznie przekształć: rozwiń nawiasy, oblicz wierzchołek albo miejsca zerowe.
• Oceń wynik przez ponowne rozwinięcie lub podstawienie punktu.

Przykład krok po kroku

Dana jest funkcja f(x)=x²-6x+5. Zapisz ją w postaci kanonicznej i iloczynowej.

• Krok 1: a=1, b=-6, c=5.
• Krok 2: p=-b/(2a)=6/2=3.
• Krok 3: q=f(3)=9-18+5=-4.
• Krok 4: Postać kanoniczna to f(x)=(x-3)²-4.
• Krok 5: Liczymy deltę: Δ=(-6)²-4·1·5=36-20=16.
• Krok 6: x₁=(6-4)/2=1, a x₂=(6+4)/2=5.
• Krok 7: Postać iloczynowa to f(x)=(x-1)(x-5).
• Krok 8: Sprawdzenie: (x-1)(x-5)=x²-6x+5.

Jak wybrać najlepszą postać?

• Szukasz punktu przecięcia z osią y lub liczysz deltę — wybierz postać ogólną.
• Szukasz wierzchołka, osi symetrii, minimum lub maksimum — wybierz postać kanoniczną.
• Szukasz miejsc zerowych albo znaku funkcji — wybierz postać iloczynową.

Najczęstsze błędy

• Odczytywanie wierzchołka a(x-p)²+q jako (-p,q).
• Gubienie współczynnika a podczas rozwijania nawiasów.
• Zapisywanie postaci iloczynowej bez sprawdzenia, czy miejsca zerowe są rzeczywiste.
• Mylenie x-x₁ z x+x₁.
• Błędne rozwinięcie (x-p)², szczególnie brak składnika -2px.
• Brak kontroli wyniku przez ponowne wymnożenie nawiasów.

Najczęstsze pytania