Wykres funkcji kwadratowej rysujemy jako gładką parabolę. Najpierw ustalamy kierunek ramion i wierzchołek, następnie zaznaczamy miejsca zerowe oraz dodatkowe punkty. Oś symetrii pozwala sprawdzić i uzupełnić szkic.
Przygotuj osie i rozpoznaj wzór
Zaznacz poziomą oś \(x\), pionową oś \(y\), zero oraz podziałkę. Pierwsza współrzędna punktu mówi o przesunięciu poziomym, druga o wysokości. Punkt \((2,-1)\) leży dwie jednostki w prawo i jedną w dół od początku układu.
W postaci ogólnej \(ax^2+bx+c\) odczytaj \(a\) ze znakiem. Przy \(a\gt0\) ramiona idą w górę, przy \(a\lt0\) w dół. Jeśli masz postać kanoniczną \(a(x-p)^2+q\), wierzchołek \((p,q)\) jest już widoczny.
Wierzchołek i oś symetrii
Oś symetrii ma równanie \(x=p\). Punkty o argumentach \(p-t\) i \(p+t\) mają tę samą wysokość.
Dla \(f(x)=x^2-4x+3\) wierzchołek wynosi \((2,-1)\), a oś ma równanie \(x=2\). Jeśli obliczysz \(f(0)=3\), symetria daje drugi punkt \((4,3)\): obydwa argumenty są oddalone o \(2\) od osi.
Z dwóch zer można obliczyć środek ich argumentów, ale nie wysokość wierzchołka. Wysokość zawsze wymaga dodatkowej informacji, np. podstawienia do wzoru.
Szkic krok po kroku
Naszkicujmy \(f(x)=-x^2+4\). Wzór jest prosty, lecz wykonamy wszystkie etapy, aby mieć kontrolę nad kształtem.
- Odczytaj kierunek ramion.\(a=-1\lt0\ \Longrightarrow\ \text{ramiona w dół}\)
- Wyznacz wierzchołek i oś.\(p=0,\quad q=f(0)=4,\quad W=(0,4),\quad x=0\)
- Oblicz miejsca zerowe.\(-x^2+4=0\ \Longrightarrow\ x=-2\ \text{lub}\ x=2\)
- Dodaj parę symetrycznych punktów kontrolnych.\(f(-1)=3,\qquad f(1)=3\)
- Zaznacz punkty i poprowadź gładką krzywą przez nie.\((-2,0),\ (-1,3),\ (0,4),\ (1,3),\ (2,0)\)
Ramiona biegną dalej poza zaznaczonymi punktami. Nie łącz punktów odcinkami: parabola nie ma ostrych załamań. Punkty kontrolują położenie, a wzór i symetria kształt.
Gdy nie ma przecięć z osią poziomą
Funkcja \(x^2+1\) nie ma rzeczywistych miejsc zerowych, ale ma wykres. Zaznacz wierzchołek \((0,1)\) oraz np. \((-1,2)\), \((1,2)\), \((-2,5)\), \((2,5)\). Cały wykres leży nad osią \(x\).
Dla \((x-2)^2\) parabola dotyka osi w \((2,0)\); to jedno miejsce zerowe. Nie trzeba rysować dwóch przecięć tylko dlatego, że funkcja jest kwadratowa. Liczbę zer określa delta albo czytelna postać wzoru.
Kontrola skali i odczyt własności
Przy tej samej odległości od osi symetrii wartość \(a(x-p)^2\) zależy od \(a\). Dla \(2x^2\) przy \(x=1\) wysokość wynosi \(2\), a dla \(\frac12x^2\) — \(\frac12\). Nie rysuj każdej paraboli tak samo szeroko.
Ze szkicu \(-x^2+4\) odczytujemy maksimum \(4\), wzrost na \((-\infty;0]\), spadek na \([0;+\infty)\) i dodatnie wartości dla \(-2\lt x\lt2\). Każdy z tych wniosków powinien zgadzać się z zaznaczonymi punktami.
Typowy błąd
Przed zakończeniem skontroluj znak \(a\), punkt \((0,c)\), symetrię i podziałkę. Jeśli dziedzina została ograniczona, pozostaw tylko właściwy fragment i oznacz włączone oraz wykluczone końce.