Wykres funkcji kwadratowej

Wyobraź sobie tor piłki rzuconej do kosza. Najpierw wznosi się, potem osiąga najwyższy punkt i opada. Taki kształt na układzie współrzędnych tworzy parabola, czyli wykres funkcji kwadratowej.

Co jest wykresem funkcji kwadratowej?

Wykresem funkcji f(x)=ax²+bx+c, gdzie a≠0, jest parabola.

• Gdy a>0, ramiona paraboli są skierowane w górę.
• Gdy a<0, ramiona paraboli są skierowane w dół.
• Im większe |a|, tym parabola jest węższa.
• Im mniejsze |a|, tym parabola jest szersza.

Najważniejsze elementy wykresu

• Wierzchołek W=(p,q) jest najniższym albo najwyższym punktem paraboli.
• Oś symetrii ma równanie x=p.
• Miejsca zerowe to punkty przecięcia wykresu z osią x.
• Punkt przecięcia z osią y to (0,c).

Jak znaleźć wierzchołek?

Dla postaci ogólnej obliczamy p=-b/(2a), a następnie q=f(p). W postaci kanonicznej f(x)=a(x-p)²+q wierzchołek odczytujemy bezpośrednio jako (p,q).

Jak znaleźć miejsca zerowe?

Liczymy deltę Δ=b²-4ac.

• Δ>0 — parabola przecina oś x w dwóch punktach.
• Δ=0 — parabola dotyka osi x w jednym punkcie.
• Δ<0 — parabola nie przecina osi x.

Jak szkicować wykres krok po kroku?

• Sprawdź znak a i ustal kierunek ramion.
• Oblicz wierzchołek.
• Narysuj oś symetrii.
• Wyznacz miejsca zerowe, jeśli istnieją.
• Zaznacz punkt (0,c).
• Dorysuj punkty symetryczne względem osi.
• Połącz punkty płynnym łukiem.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim R-W-Z-Y-S: Ramiona, Wierzchołek, Zera, punkt na osi Y, Symetria. Wyobraź sobie ogromną parabolę jako trampolinę w swoim pokoju. Na środku siedzi wierzchołek, po obu stronach stoją lustrzane bliźniaki, a miejsca zerowe to dwie dziury w podłodze. Gdy a jest ujemne, trampolina obraca się na sufit i wszystkie punkty spadają do góry.

Przykład krok po kroku

Narysuj wykres funkcji f(x)=x²-4x+3.

• Krok 1: a=1>0, więc ramiona są skierowane w górę.
• Krok 2: p=-(-4)/(2·1)=2.
• Krok 3: q=f(2)=4-8+3=-1, więc W=(2,-1).
• Krok 4: Oś symetrii ma równanie x=2.
• Krok 5: Δ=16-12=4.
• Krok 6: Miejsca zerowe to x₁=1 i x₂=3.
• Krok 7: Punkt przecięcia z osią y to (0,3).
• Krok 8: Punkt symetryczny do (0,3) względem x=2 to (4,3).
• Krok 9: Łączymy punkty płynną parabolą.

Odczytywanie własności z wykresu

• Dziedzina funkcji kwadratowej to wszystkie liczby rzeczywiste.
• Zbiór wartości zależy od wierzchołka i kierunku ramion.
• Dla a>0 funkcja maleje do wierzchołka, a potem rośnie.
• Dla a<0 funkcja rośnie do wierzchołka, a potem maleje.
• Znak funkcji odczytujemy według położenia wykresu względem osi x.

Najczęstsze błędy

• Rysowanie wykresu bez osi symetrii.
• Mylenie kierunku ramion przez nieuwzględnienie znaku a.
• Niepoprawne zaznaczanie wierzchołka z postaci kanonicznej.
• Łączenie punktów linią łamaną zamiast płynną parabolą.
• Brak punktów symetrycznych.
• Pomijanie punktu (0,c).

Najczęstsze pytania