Wierzchołek paraboli to punkt \(W=(p,q)\), w którym funkcja kwadratowa zmienia kierunek monotoniczności i osiąga minimum albo maksimum na \(\mathbb R\). Pierwsza współrzędna wskazuje argument, druga wartość funkcji.
Dwie współrzędne, dwa pytania
Dla wierzchołka \((3,-2)\) oś symetrii ma równanie \(x=3\), a wartość w wierzchołku wynosi \(-2\). Nie jest to punkt \((-2,3)\). Gdy ramiona idą w górę, \(-2\) jest minimum; przy ramionach w dół byłoby maksimum.
Wierzchołek leży na wykresie, dlatego zawsze spełnia \(q=f(p)\). To prosty sposób kontroli nawet wtedy, gdy obie współrzędne odczytano bez obliczeń.
Odczyt z postaci kanonicznej
Ze wzoru \(f(x)=a(x-p)^2+q\) odczytujemy \(W=(p,q)\). Kwadrat jest zerowy dla \(x=p\), więc wtedy zostaje sama wartość \(q\). Dla \(-2(x-3)^2+7\) wierzchołek to \((3,7)\).
Plus w nawiasie wymaga uwagi: \((x+5)^2-1=(x-(-5))^2-1\), więc wierzchołek to \((-5,-1)\). Współczynnik \(a\) nie jest współrzędną punktu; określa kształt i kierunek ramion.
Wzory dla postaci ogólnej
Wzory stosujemy do \(ax^2+bx+c\) przy \(a\ne0\). Pierwszy daje argument; dwa równoważne sposoby na \(q\) dają wysokość.
Jeżeli nie obliczałeś delty, zwykle wygodniej podstawić \(p\) do funkcji. Jeśli delta jest już znana, możesz użyć drugiego wzoru. Nie wstawiaj pierwiastka z delty zamiast samej delty.
Pełne obliczenie wierzchołka
Wyznaczmy wierzchołek \(f(x)=2x^2-8x+3\). Najpierw zapisujemy \(a=2\), \(b=-8\), \(c=3\), zachowując znak wyrazu liniowego.
- Oblicz pierwszą współrzędną.\(p=-\frac{-8}{2\cdot2}=\frac84=2\)
- Podstaw ją do całego wzoru.\(q=f(2)=2\cdot2^2-8\cdot2+3=8-16+3=-5\)
- Zapisz punkt oraz oś symetrii.\(W=(2,-5),\qquad x=2\)
- Skontroluj wysokość drugim sposobem.\(\Delta=64-24=40,\qquad -\frac{\Delta}{4a}=-\frac{40}{8}=-5\)
Ponieważ \(a\gt0\), minimum wynosi \(-5\) dla \(x=2\), a zbiór wartości to \([-5;+\infty)\). Funkcja maleje do argumentu \(2\), a potem rośnie.
Wierzchołek z zer i punktów symetrycznych
Jeśli znasz dwa różne miejsca zerowe, argument wierzchołka jest ich średnią: \(p=\frac{x_1+x_2}{2}\). Dla zer \(1\) i \(7\) otrzymujemy \(p=4\). Wysokość trzeba obliczyć ze wzoru lub innych danych.
Również dwa różne argumenty dające tę samą wartość są symetryczne względem osi paraboli. Dla przykładowej funkcji \(2x^2-8x+3\) mamy \(f(1)=f(3)=-3\), a środek argumentów wynosi \(2\).
Same zera nie określają jednej paraboli: \(x^2-4\) i \(2x^2-8\) mają zera \(-2,2\), lecz wierzchołki odpowiednio \((0,-4)\) i \((0,-8)\). Potrzebna jest jeszcze informacja o skali.
Typowy błąd
Sprawdź oba znaki i obie współrzędne. Jeśli zadanie ogranicza dziedzinę, wierzchołek pełnej paraboli może leżeć poza rozważanym fragmentem i wtedy nie daje osiąganej na nim wartości ekstremalnej.