Na całej prostej rzeczywistej funkcja kwadratowa osiąga jedną z wartości ekstremalnych w wierzchołku. Na przedziale domkniętym trzeba porównać wartości na obu końcach i w wierzchołku, jeśli jego argument należy do przedziału.
Minimum i maksimum na całej dziedzinie
Dla \(f(x)=a(x-p)^2+q\) z \(a\gt0\) najmniejsza wartość to \(q\), osiągana dla \(x=p\). Największej wartości nie ma, ponieważ ramiona rosną bez ograniczenia. Przy \(a\lt0\) wartość \(q\) jest największa, a najmniejsza nie istnieje.
Na przykład \((x-3)^2+2\) ma minimum \(2\), a \(-2(x+1)^2+5\) maksimum \(5\). W pierwszym przypadku argument wynosi \(3\), w drugim \(-1\). Nie myl argumentu z uzyskaną wysokością.
Dlaczego dochodzą końce przedziału?
Na przedziale \([L;R]\) nie wolno wybierać argumentów spoza niego. Funkcja kwadratowa jest ciągła, więc na takim domkniętym i ograniczonym przedziale osiąga oba skrajne wyniki. Wewnątrz może zmienić kierunek tylko w wierzchołku; poza nim kandydatami są końce.
Litery \(L,R\) oznaczają lewy i prawy koniec. Wierzchołek spoza przedziału pomijamy, ale oba końce sprawdzamy zawsze.
Ten algorytm dotyczy funkcji kwadratowej na przedziale domkniętym. Przy końcu otwartym trzeba dodatkowo ustalić, czy graniczna wartość jest faktycznie osiągana.
Przykład krok po kroku
Znajdźmy najmniejszą i największą wartość \(f(x)=(x-2)^2-1\) na \([0;5]\). Wierzchołek ma argument \(2\), który należy do przedziału.
- Oblicz wartość w wierzchołku.\(f(2)=(2-2)^2-1=-1\)
- Oblicz wartość na lewym końcu.\(f(0)=(-2)^2-1=3\)
- Oblicz wartość na prawym końcu.\(f(5)=3^2-1=8\)
- Porównaj wyniki i przypisz im właściwe argumenty.\(\min f=-1\ \text{dla }x=2,\qquad \max f=8\ \text{dla }x=5\)
Największy argument dał tutaj największą wartość, ale nie jest to ogólna zasada. Decydują wysokości wykresu i położenie względem wierzchołka.
Wierzchołek poza przedziałem
Dla \(g(x)=(x-1)^2\) na \([2;4]\) argument wierzchołka \(1\) nie jest dozwolony. Sprawdzamy \(g(2)=1\) i \(g(4)=9\). Funkcja na całym tym przedziale rośnie, więc minimum wynosi \(1\), a maksimum \(9\).
Podanie minimum \(0\) byłoby błędem: taka wartość występuje tylko dla \(x=1\), poza dziedziną zadania. Wierzchołek pełnej paraboli istnieje, ale nie należy do badanego fragmentu.
Ramiona w dół i dwa argumenty skrajnej wartości
Dla \(h(x)=-x^2+4\) na \([-3;1]\) sprawdzamy \(h(-3)=-5\), \(h(0)=4\), \(h(1)=3\). Minimum wynosi \(-5\) na lewym końcu, a maksimum \(4\) w wierzchołku.
Czasem ten sam wynik skrajny pojawia się dla dwóch argumentów. Funkcja \(x^2\) na \([-2;2]\) ma maksimum \(4\) zarówno dla \(-2\), jak i \(2\). Jeśli polecenie pyta o wszystkie argumenty, podaj oba.
Na otwartym przedziale \((0;2)\) funkcja \(x^2\) nie osiąga ani \(0\), ani \(4\). Ma wartości między nimi, ale nie ma najmniejszej ani największej. Nie wystarczy obliczyć wzór w wykluczonym końcu.
Typowy błąd
Zrób listę argumentów i odpowiadających im wyników. Odrzuć niedozwolone argumenty przed wyborem odpowiedzi, a potem porównuj wartości, nie same numery punktów.