Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej

Wyobraź sobie fontannę. Strumień wody wznosi się do najwyższego punktu, a potem opada. Ten najwyższy punkt odpowiada największej wartości funkcji kwadratowej. Gdy parabola przypomina miskę, jej dno pokazuje wartość najmniejszą.

Gdzie szukać maksimum lub minimum?

Dla funkcji f(x)=ax²+bx+c najważniejszy jest wierzchołek W=(p,q).

• Jeśli a>0, ramiona są skierowane w górę, więc funkcja ma wartość najmniejszą równą q.
• Jeśli a<0, ramiona są skierowane w dół, więc funkcja ma wartość największą równą q.

Na całej dziedzinie funkcja kwadratowa nie ma jednocześnie maksimum i minimum. Ma tylko jedno z nich.

Jak obliczyć wartość ekstremalną?

• Oblicz p=-b/(2a).
• Oblicz q=f(p).
• Sprawdź znak a.
• Podaj wartość ekstremalną oraz argument, dla którego jest osiągana.

Możesz też skorzystać ze wzoru q=-Δ/(4a), gdzie Δ=b²-4ac.

Wartość a argument

Nie myl dwóch informacji:

• p to argument, dla którego funkcja osiąga ekstremum.
• q to największa albo najmniejsza wartość funkcji.

Jeśli W=(3,-5), to ekstremum jest osiągane dla x=3, a jego wartość wynosi -5.

Postać kanoniczna

W zapisie f(x)=a(x-p)²+q wszystko widać od razu.

• Dla a>0 najmniejsza wartość to q.
• Dla a<0 największa wartość to q.
• Ekstremum jest osiągane dla x=p.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim Z-W-E: Znak a, Wierzchołek, Ekstremum. Wyobraź sobie dwie windy w pałacu pamięci. Dodatnie a otwiera windę jadącą w dół do najniższego piętra MIN, a ujemne a uruchamia rakietę lecącą na najwyższy dach MAX. Na drzwiach obu pojazdów świeci współrzędna q, a przycisk startu ma numer p.

Przykład krok po kroku

Znajdź najmniejszą wartość funkcji f(x)=2x²-8x+7.

• Krok 1: a=2>0, więc funkcja ma minimum.
• Krok 2: p=-(-8)/(2·2)=8/4=2.
• Krok 3: q=f(2)=2·4-16+7=8-16+7=-1.
• Krok 4: Najmniejsza wartość funkcji wynosi -1.
• Krok 5: Jest osiągana dla x=2.
• Krok 6: Zbiór wartości to [-1,+∞).

Przykład z maksimum

Dana jest funkcja g(x)=-x²+6x-5.

• a=-1<0, więc funkcja ma maksimum.
• p=-6/(2·(-1))=3.
• q=g(3)=-9+18-5=4.
• Największa wartość funkcji wynosi 4 i jest osiągana dla x=3.

Ekstremum w przedziale domkniętym

Jeśli zadanie ogranicza x do przedziału [m,n], trzeba porównać:

• wartość w wierzchołku, jeśli p należy do przedziału,
• wartość na lewym końcu przedziału,
• wartość na prawym końcu przedziału.

Największa z otrzymanych liczb jest maksimum na przedziale, a najmniejsza minimum na przedziale.

Przykład w przedziale

Dla f(x)=x²-4x+5 wyznacz wartości największą i najmniejszą na [0,3].

• Wierzchołek ma p=2, więc należy do przedziału.
• f(0)=5.
• f(2)=1.
• f(3)=2.
• Najmniejsza wartość to 1 dla x=2.
• Największa wartość to 5 dla x=0.

Zastosowania

• Maksymalna wysokość rzutu.
• Największy przychód lub zysk.
• Najmniejszy koszt produkcji.
• Największe pole figury przy danych ograniczeniach.

Najczęstsze błędy

• Podawanie p jako wartości największej lub najmniejszej zamiast q.
• Brak sprawdzenia znaku a.
• Pomijanie końców przedziału w zadaniach z ograniczoną dziedziną.
• Liczenie q bez wcześniejszego poprawnego wyznaczenia p.
• Stwierdzenie, że funkcja z a>0 ma maksimum na całej dziedzinie.
• Niepodanie argumentu, dla którego ekstremum jest osiągane.

Najczęstsze pytania