Funkcja odwrotnej proporcjonalności ma postać \(y=\frac ax\), gdzie \(a\ne0\) i \(x\ne0\). Jej cechą jest stały iloczyn \(xy=a\): zmiana jednej wielkości wymaga odpowiedniej zmiany drugiej, aby iloczyn pozostał taki sam.
Co oznacza odwrotna proporcjonalność?
Dla \(y=\frac{12}{x}\) argumenty \(2,3,6\) dają odpowiednio wartości \(6,4,2\). Podwojenie dodatniego argumentu dzieli wynik przez \(2\). To nie jest odejmowanie stałej liczby, więc zależność nie jest liniowa.
Współczynnik \(a\) jest wspólnym iloczynem współrzędnych każdego punktu wykresu. Z punktu \((x,y)\) obliczamy go jako \(a=xy\).
Z punktu \((3,-2)\) otrzymujemy \(a=-6\), więc wzór to \(y=-\frac6x\). Nie obliczamy \(a\) przez dzielenie współrzędnych, jak w proporcjonalności prostej.
Cztery ćwiartki — najpierw znaki współrzędnych
Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. W I, prawej górnej, obie współrzędne są dodatnie. W II, lewej górnej, \(x\lt0\), \(y\gt0\). W III obie są ujemne. W IV, prawej dolnej, \(x\gt0\), \(y\lt0\). Punkty na osiach nie należą do żadnej ćwiartki.
Gdy \(a\gt0\), iloczyn \(xy\) jest dodatni, więc współrzędne mają ten sam znak: gałęzie leżą w I i III ćwiartce. Przy \(a\lt0\) znaki są przeciwne, więc wykres leży w II i IV.
Dziedzina, wartości i asymptoty
Dziedziną jest \(\mathbb R\setminus\{0\}\), bo nie wolno dzielić przez zero. Zbiór wartości także nie zawiera zera: niezerowy licznik nie daje zerowego ilorazu. Każdą inną wartość \(y\) uzyskamy, wybierając \(x=\frac ay\).
Wykres to hiperbola z dwiema gałęziami. Dla tej funkcji obie osie są asymptotami: gdy \(|x|\) jest bardzo duże, wartości zbliżają się do zera, a gdy \(x\) zbliża się do zera z jednej strony, wartości rosną co do modułu. Wykres nie przecina żadnej osi.
Przykład obliczenia i zastosowania
- Dla \(y=\frac{12}{x}\) podstaw argument \(3\).\(y=\frac{12}{3}=4\)
- Sprawdź stałość iloczynu.\(3\cdot4=12\)
- Podwój argument i oblicz nowy wynik.\(x=6,\qquad y=\frac{12}{6}=2\)
- Porównaj wartości.\(2=\frac42\)
W modelu pracy \(6\) osób wykonuje zadanie w \(10\) dni. Jeśli wszyscy pracują z taką samą stałą wydajnością, pracę można podzielić, a zwiększenie zespołu nie powoduje strat organizacyjnych, potrzeba \(60\) osobodni. Dla \(12\) osób czas wynosi \(\frac{60}{12}=5\) dni.
To model z założeniami. W rzeczywistości nie każdą pracę da się przyspieszyć dowolnie przez dodawanie osób. W tym zadaniu liczba osób jest dodatnią liczbą całkowitą, choć sama funkcja matematyczna dopuszcza również inne argumenty.
Monotoniczność osobno na gałęziach
Dla \(a\gt0\) funkcja maleje na każdym z przedziałów \((-\infty;0)\) i \((0;+\infty)\). Nie mówimy jednak, że maleje na całej dziedzinie: dla \(-1\lt1\) i \(a=4\) mamy \(-4\lt4\), co przeczy globalnemu spadkowi.
Przy \(a\lt0\) każda gałąź jest rosnąca. Przerwa w dziedzinie wymaga oddzielnego podawania przedziałów. Funkcja nie ma miejsc zerowych, mimo że wartości po obu stronach zera mają różne znaki.
Typowy błąd
Sprawdź znak iloczynu, dziedzinę i sens jednostek. Przy modelu praktycznym ogranicz dziedzinę do dozwolonych wielkości, zamiast automatycznie przepisywać pełną dziedzinę hiperboli.