Funkcja odwrotnej proporcjonalności

Wyobraź sobie pizzę za 60 zł. Gdy płacisz sam, koszt wynosi 60 zł. Gdy dzielisz rachunek z drugą osobą, każdy płaci 30 zł, a przy sześciu osobach tylko 10 zł. Liczba osób rośnie, a koszt na osobę maleje tak, aby iloczyn obu wielkości pozostawał stały.

Na czym polega odwrotna proporcjonalność?

Dwie wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały:

x·y=a

Po przekształceniu otrzymujemy wzór funkcji:

f(x)=a/x, gdzie a≠0 oraz x≠0.

Jak rozpoznać zależność?

• Gdy x rośnie dwa razy, y maleje dwa razy.
• Gdy x rośnie trzy razy, y maleje trzy razy.
• Iloczyn x·y ma zawsze tę samą wartość a.
• W tabeli wartości nie sprawdzamy stałego ilorazu y/x, lecz stały iloczyn x·y.

Dziedzina i zbiór wartości

• Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 0.
• Zbiór wartości: wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 0.
• Funkcja nie przecina osi OX ani osi OY.

Liczba 0 jest wykluczona, ponieważ nie można dzielić przez zero, a wartość a/x nigdy nie jest równa zero.

Jak wygląda wykres?

Wykresem funkcji f(x)=a/x jest hiperbola złożona z dwóch oddzielnych gałęzi.

• Jeśli a>0, gałęzie leżą w I i III ćwiartce.
• Jeśli a<0, gałęzie leżą w II i IV ćwiartce.
• Osie układu współrzędnych są asymptotami wykresu.

Monotoniczność

• Dla a>0 funkcja jest malejąca w przedziałach (-∞,0) oraz (0,+∞).
• Dla a<0 funkcja jest rosnąca w przedziałach (-∞,0) oraz (0,+∞).

Nie wolno łączyć tych przedziałów w jeden, ponieważ funkcja nie jest określona dla x=0.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim I-Z-G: Iloczyn stały, Zero zakazane, Gałęzie zależą od znaku a. W pałacu pamięci ustaw na stole magiczną wagę. Na jednej szalce siedzi x, na drugiej y, a pod wagą świeci stała liczba a. Gdy gigantyczny x puchnie jak balon, y kurczy się do rozmiaru mrówki, ale ich iloczyn niezmiennie pilnuje strażnik a. Przy drzwiach stoi wielkie zero z tabliczką zakazu wstępu.

Przykład krok po kroku

Dana jest funkcja f(x)=12/x. Oblicz f(3), f(-4) i wyznacz a.

• Krok 1: Wzór ma postać a/x, więc a=12.
• Krok 2: f(3)=12/3=4.
• Krok 3: f(-4)=12/(-4)=-3.
• Krok 4: Ponieważ a>0, wykres leży w I i III ćwiartce.
• Krok 5: Dziedzina to R bez liczby 0.

Wyznaczanie wzoru z punktu

Hiperbola f(x)=a/x przechodzi przez punkt P=(2,-6). Znajdź wzór funkcji.

• Krok 1: Podstaw x=2 oraz y=-6 do równania y=a/x.
• Krok 2: -6=a/2.
• Krok 3: Pomnóż obie strony przez 2: a=-12.
• Krok 4: Wzór funkcji to f(x)=-12/x.
• Krok 5: Gałęzie leżą w II i IV ćwiartce.

Zadanie tekstowe

Pracę wykonuje 8 osób w 15 dni. Zakładając jednakową wydajność, ile dni potrzebuje 12 osób?

• Krok 1: Liczba osób i czas są odwrotnie proporcjonalne.
• Krok 2: Iloczyn jest stały: 8·15=120.
• Krok 3: Dla 12 osób czas wynosi 120/12=10.
• Krok 4: Odpowiedź: 12 osób wykona pracę w 10 dni.

Najczęstsze błędy

• Mylenie odwrotnej proporcjonalności z funkcją liniową.
• Sprawdzanie stałego ilorazu zamiast stałego iloczynu.
• Włączanie zera do dziedziny.
• Rysowanie wykresu przecinającego osie.
• Umieszczanie gałęzi w złych ćwiartkach.
• Łączenie dwóch gałęzi hiperboli.
• Zapominanie, że znak a decyduje o położeniu wykresu.

Najczęstsze pytania