Funkcja wykładnicza ma postać \(f(x)=a^x\), gdzie \(a\gt0\) i \(a\ne1\). Zmienna znajduje się w wykładniku. Przy zwiększeniu argumentu o \(1\) wartość jest mnożona przez stałą podstawę \(a\).
Potęga jako reguła zmiany
Dla \(2^x\) argumenty \(0,1,2,3\) dają wyniki \(1,2,4,8\). Każdy kolejny krok podwaja wynik. Różnice między wynikami nie są stałe, dlatego nie jest to funkcja liniowa.
Nie myl \(2^x\) z \(x^2\). Pierwszy wzór ma stałą podstawę i zmienny wykładnik; drugi zmienną podstawę i stały wykładnik. Dla \(x=3\) dają odpowiednio \(8\) i \(9\).
Podstawa jest dodatnia i różna od jedności. Ujemny wykładnik daje odwrotność potęgi, a nie ujemną wartość.
Dziedzina i charakterystyczne punkty
Dopuszczamy wszystkie argumenty rzeczywiste: całkowite, ujemne i ułamkowe. Dla \(2^{-2}\) mamy \(\frac14\), a dla \(4^{\frac{1}{2}}\) mamy \(\sqrt4=2\). Zawsze otrzymujemy wartość dodatnią.
Dziedzina wynosi \(\mathbb R\), a zbiór wartości \((0;+\infty)\). Wykres przechodzi przez \((0,1)\), \((1,a)\) i \((-1,\frac1a)\). Nie ma miejsc zerowych. Oś pozioma jest asymptotą, ale nie częścią wykresu.
Wzrost albo spadek zależnie od podstawy
Dla \(a\gt1\) funkcja rośnie. Dla \(0\lt a\lt1\) maleje, ponieważ mnożenie przez taki dodatni ułamek zmniejsza dodatnią wartość. Na przykład \((\frac12)^x\) daje dla \(x=0,1,2\) wyniki \(1,\frac12,\frac14\).
Obie krzywe są dodatnie, choć jedna maleje. Funkcja malejąca nie musi być ujemna. Podstawa \(1\) dawałaby funkcję stałą \(1\), dlatego wykluczamy ją z omawianej rodziny.
Przykład równania i porównania wartości
Rozwiążmy \(2^{x+1}=16\). Potęgi o tej samej dodatniej podstawie różnej od \(1\) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wykładniki są równe.
- Zapisz prawą stronę przy podstawie \(2\).\(16=2^4\)
- Porównaj wykładniki.\(x+1=4\)
- Oblicz i sprawdź argument.\(x=3,\qquad2^{3+1}=16\)
Przy nierównościach kierunek zależy od monotoniczności. Z \(2^x\gt2^3\) wynika \(x\gt3\). Natomiast \((\frac12)^x\gt(\frac12)^3\) wymaga \(x\lt3\), bo ta funkcja maleje.
Wzrost procentowy i podwojenia
Jeśli wartość początkowa wynosi \(50\) i co okres się podwaja, po \(n\) okresach jest równa \(50\cdot2^n\). Po trzech podwojeniach otrzymujemy \(400\). Dla \(n=0\) wzór daje wartość początkową, bez żadnego podwojenia.
Wzrost o \(10\%\) w każdym okresie mnoży wartość przez \(1{,}1\), więc model ma postać \(P(n)=P_0\cdot1{,}1^n\). Spadek o \(20\%\) mnoży przez \(0{,}8\). Procent za każdym razem dotyczy aktualnej wartości.
W modelu okresowym \(n\) może być nieujemną liczbą całkowitą. Rozszerzenie wzoru na dowolny czas rzeczywisty jest dodatkowym założeniem, którego nie trzeba automatycznie wprowadzać.
Typowy błąd
Sprawdź, gdzie znajduje się zmienna, jaka jest podstawa i czy wynik pozostaje dodatni. Przy przekształconej funkcji, np. \(2^x-3\), zbiór wartości zmienia się na \((-3;+\infty)\); nie przenoś własności podstawowego wykresu bez uwzględnienia przesunięcia.