Funkcja logarytmiczna

Wyobraź sobie sejf z szyfrem potęgowym. Wiesz, że podstawa to 2, a wynik to 8, lecz zgubiłeś wykładnik. Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść 2, aby dostać 8? Odpowiedź brzmi 3, bo 2³=8.

Definicja funkcji logarytmicznej

Funkcja logarytmiczna ma postać f(x)=log_ax, gdzie a>0, a≠1 oraz x>0.

Zapis log_ax=y jest równoważny zapisowi a^y=x.

Co oznacza logarytm?

• Podstawa a mówi, jaką liczbę potęgujemy.
• Argument x jest wynikiem potęgowania.
• Wartość logarytmu y jest szukanym wykładnikiem.

Dziedzina i zbiór wartości

• Dziedzina: (0,+∞), ponieważ logarytmujemy tylko liczby dodatnie.
• Zbiór wartości: R.
• Funkcja ma miejsce zerowe w punkcie x=1, ponieważ log_a1=0.
• Wykres przechodzi przez punkt (a,1), ponieważ log_aa=1.
• Prosta x=0, czyli oś OY, jest asymptotą pionową.

Kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje?

• Jeśli a>1, funkcja logarytmiczna jest rosnąca.
• Jeśli 0<a<1, funkcja logarytmiczna jest malejąca.

Funkcja logarytmiczna i wykładnicza o tej samej podstawie są funkcjami odwrotnymi. Ich wykresy są symetryczne względem prostej y=x.

Podstawowe wartości

• log_a1=0,
• log_aa=1,
• log_aaⁿ=n.

Jak szkicować wykres?

• Zaznacz punkt (1,0).
• Zaznacz punkt (a,1).
• Sprawdź, czy podstawa a jest większa od 1, czy leży między 0 i 1.
• Narysuj krzywą zbliżającą się do osi OY, ale jej nieprzecinającą.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-Y-T-A: Podstawa, Y jako wykładnik, Tylko dodatni argument, Asymptota x=0. W pałacu pamięci stoi gadający sejf. Na drzwiach ma podstawę a, do środka wpuszcza tylko dodatnie liczby, a następnie krzyczy: „Jaki wykładnik mnie otworzy?”. Obok osi OY stoi gigantyczny strażnik-zero i nie przepuszcza wykresu na lewą stronę.

Przykład krok po kroku

Oblicz log₂8.

• Krok 1: Zapisz pytanie w formie potęgowej: 2^?=8.
• Krok 2: Rozpoznaj, że 8=2³.
• Krok 3: Szukany wykładnik to 3.
• Krok 4: log₂8=3.

Przykład z ułamkiem

Oblicz log₃(1/9).

• Krok 1: Zapisz 1/9 jako potęgę liczby 3.
• Krok 2: 1/9=3^-2.
• Krok 3: log₃(1/9)=-2.

Rozwiązywanie prostego równania

Rozwiąż równanie log₅x=2.

• Krok 1: Zamień zapis logarytmiczny na potęgowy.
• Krok 2: x=5².
• Krok 3: x=25.
• Krok 4: Sprawdź dziedzinę: 25>0, więc rozwiązanie jest poprawne.

Przesunięcia wykresu

Dla g(x)=log_a(x-p)+q wykres funkcji log_ax przesuwamy o p jednostek w prawo i o q jednostek w górę. Asymptotą pionową staje się prosta x=p, a dziedzina spełnia warunek x>p.

Związek z funkcją wykładniczą

Jeśli punkt (u,v) należy do wykresu y=a^x, to punkt (v,u) należy do wykresu y=log_ax. Współrzędne zamieniają się miejscami, ponieważ funkcje są odwrotne.

Najczęstsze błędy

• Logarytmowanie liczby równej zero lub ujemnej.
• Zapominanie o warunkach a>0 i a≠1.
• Mylenie argumentu z wartością logarytmu.
• Stwierdzenie, że log_a1=1 zamiast 0.
• Mylenie asymptoty x=0 z asymptotą y=0.
• Pomijanie warunku dziedziny w równaniach.
• Mylenie monotoniczności dla podstawy z przedziału (0,1).

Najczęstsze pytania