Funkcja logarytmiczna \(f(x)=\log_a x\) przyporządkowuje dodatniej liczbie wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę \(a\), aby tę liczbę otrzymać. Zakładamy \(a\gt0\) oraz \(a\ne1\).
Logarytm odpowiada na pytanie o wykładnik
Zapis \(\log_2 8=3\) oznacza \(2^3=8\). Podstawa to \(2\), argument to \(8\), a wartość logarytmu to \(3\). Nie dzielimy argumentu przez podstawę ani nie mnożymy tych liczb.
W funkcji logarytmicznej znamy wynik potęgowania \(x\), a szukamy wykładnika \(y\).
W szczególności \(\log_a1=0\), bo \(a^0=1\), oraz \(\log_a a=1\), bo \(a^1=a\). Te dwie wartości dają charakterystyczne punkty wykresu.
Dziedzina i zbiór wartości
Argument musi być dodatni, ponieważ potęga dodatniej podstawy nigdy nie daje zera ani liczby ujemnej. Dziedzina to \((0;+\infty)\). Sam wynik logarytmu może być dowolną liczbą rzeczywistą, także zerem lub liczbą ujemną.
Przykładowo \(\log_2\frac14=-2\), bo \(2^{-2}=\frac14\). Natomiast \(\log_2(-4)\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych. Ujemny wynik i ujemny argument to dwie zupełnie różne sytuacje.
Wykres i związek z potęgowaniem
Skoro \(2^3=8\), punkt \((3,8)\) należy do wykresu \(2^x\), a punkt \((8,3)\) do wykresu \(\log_2x\). Zamieniamy współrzędne. Wykresy funkcji odwrotnych są odbiciami względem prostej \(y=x\).
Wykres \(\log_a x\) przechodzi przez \((1,0)\), \((a,1)\) i \((\frac1a,-1)\). Ma jedno miejsce zerowe, \(1\), i pionową asymptotę \(x=0\). Nie przecina osi pionowej, bo zero nie należy do dziedziny.
Monotoniczność i znak
Dla \(a\gt1\) funkcja logarytmiczna rośnie: większy argument wymaga większego wykładnika. Dla \(0\lt a\lt1\) maleje. Przykładowo \(\log_{\frac{1}{2}}1=0\), \(\log_{\frac{1}{2}}2=-1\), \(\log_{\frac{1}{2}}4=-2\).
Przy \(a\gt1\) logarytm jest dodatni dla \(x\gt1\), a ujemny dla \(0\lt x\lt1\). Przy podstawie z przedziału \((0;1)\) znaki są odwrotne. W obu przypadkach argument musi pozostać dodatni.
Obliczanie wartości i dziedziny krok po kroku
Obliczmy \(\log_2 32\). Najpierw nadajemy szukanemu wynikowi nazwę \(y\), a następnie zapisujemy równoważne pytanie o potęgę.
- Zastosuj definicję logarytmu.\(y=\log_2 32\ \Longleftrightarrow\ 2^y=32\)
- Rozpoznaj potęgę podstawy.\(32=2^5\)
- Porównaj wykładniki i podaj wynik.\(y=5\)
Dla \(g(x)=\log_3(x-2)\) argumentem logarytmu jest całe \(x-2\). Wymagamy \(x-2\gt0\), więc \(x\gt2\). Dla \(h(x)=\log_4(7-x)\) wymagamy \(7-x\gt0\), czyli \(x\lt7\).
Rozwiązując \(\log_2x=5\), dostajemy \(x=2^5=32\), co spełnia dziedzinę. Nie zamieniaj ról: obliczanie \(\log_2 32\) i znajdowanie argumentu przy wyniku \(5\) prowadzą do tej samej zależności, ale odpowiadają na inne pytania.
Typowy błąd
Przed rachunkiem sprawdź podstawę i dodatniość argumentu. Po obliczeniu zamień wynik z powrotem na potęgowanie: to najprostsza kontrola poprawności logarytmu.