W zadaniu praktycznym funkcja opisuje zależność wyniku od wybranej wielkości, np. kosztu od liczby kilometrów. Dobry model zawiera wzór, znaczenie zmiennych, jednostki oraz dziedzinę wynikającą z treści.
Co wybieramy na argument?
Argument jest wielkością wejściową: w modelu kosztu przejazdu może być długością drogi. Wartość funkcji jest wynikiem, czyli ceną. Zapis \(K(12)=44\) oznacza, że dla \(12\) kilometrów model daje koszt \(44\) zł.
Nazwij zmienną przed układaniem wzoru. Długość może być ułamkowa, liczba biletów musi być całkowita, a czas nie może być ujemny, jeśli liczymy go od rozpoczęcia procesu. Dziedzina nie wynika tylko z możliwości wykonania działań.
Koszt stały i koszt jednostkowy
\(b\) to opłata stała ponoszona raz, \(a\) stawka za jednostkę, a \(x\) liczba tych jednostek. Jednostki muszą być zgodne.
Taksówka pobiera \(8\) zł za rozpoczęcie kursu i \(3\) zł za kilometr. Przy założeniu rozliczenia proporcjonalnego do długości drogi model to \(K(x)=8+3x\), dla \(x\ge0\). Nie mnożymy opłaty początkowej przez liczbę kilometrów.
Jeśli cennik nalicza każdą rozpoczętą godzinę lub kilometr, zależność może być schodkowa, a nie liniowa. To musi wynikać z treści — nie dopisujemy takiego założenia samodzielnie.
Przykład i pytanie odwrotne
- Podstaw długość kursu \(12\) km.\(K(12)=8+3\cdot12\)
- Oblicz koszt i podaj jednostkę.\(K(12)=44\ \mathrm{zł}\)
- Jeśli rachunek wynosi \(44\) zł, ułóż równanie szukające drogi.\(8+3x=44\)
- Odejmij opłatę stałą i podziel przez stawkę.\(3x=36\ \Longrightarrow\ x=12\ \mathrm{km}\)
W pierwszym pytaniu znaliśmy argument, w drugim wartość. Odpowiedź musi dotyczyć właściwej wielkości: \(12\) km to nie \(12\) zł.
Ubywanie zasobu i ograniczenie czasu
Zbiornik ma początkowo \(120\) l wody, z którego ubywa równomiernie \(8\) l na minutę. Dopóki woda nie wypłynie, \(V(t)=120-8t\). Warunki \(t\ge0\) oraz \(V(t)\ge0\) dają \(0\le t\le15\).
Po \(5\) minutach pozostaje \(80\) l, a po \(15\) zbiornik jest pusty. Wynik \(-40\) l po \(20\) minutach jest sygnałem zastosowania wzoru poza ustaloną dziedziną. Jeśli chcemy opisywać dalszy czas, potrzebna jest osobna reguła \(V(t)=0\).
Dobór rodzaju funkcji
Stały przyrost na jednostkę prowadzi do funkcji liniowej. Stały iloczyn, np. czas pracy razy liczba jednakowo wydajnych osób, może prowadzić do odwrotnej proporcjonalności. Stały mnożnik w każdym okresie, np. wzrost o ten sam procent, prowadzi do modelu wykładniczego.
Prostokąt o obwodzie \(20\) ma boki \(x\) i \(10-x\), bo suma dwóch sąsiednich boków wynosi \(10\). Jego pole opisuje funkcja \(P(x)=x(10-x)=-x^2+10x\), przy \(0\lt x\lt10\). Wykluczamy końce, ponieważ oba boki mają być dodatnie.
Postać \(P(x)=-(x-5)^2+25\) pokazuje największe pole \(25\), osiągane dla \(x=5\), czyli dla kwadratu. Jednostką pola jest kwadrat jednostki długości.
Typowy błąd i kontrola sensu
Na koniec skontroluj jednostki, warunki brzegowe i rozsądny zakres stosowania. Model opisuje sytuację tylko przy przyjętych założeniach; sam poprawny rachunek nie gwarantuje sensownej odpowiedzi.