Wzory skróconego mnożenia

Wyobraź sobie trzy magiczne pieczątki w algebraicznej drukarni. Zamiast za każdym razem mnożyć wszystkie składniki nawiasów, przykładasz właściwą pieczątkę i od razu otrzymujesz gotowy układ wyrazów. Wzory skróconego mnożenia są właśnie takimi szybkimi, ale w pełni poprawnymi schematami.

Kwadrat sumy

(a + b)² = a² + 2ab + b².

• Pierwszy składnik podnosimy do kwadratu.
• Dodajemy podwojony iloczyn obu składników.
• Drugi składnik podnosimy do kwadratu.

Przykład: (x + 3)² = x² + 6x + 9.

Kwadrat różnicy

(a - b)² = a² - 2ab + b².

• Pierwszy i ostatni składnik są dodatnimi kwadratami.
• Znak minus pojawia się tylko przy środkowym wyrazie.

Przykład: (x - 4)² = x² - 8x + 16.

Różnica kwadratów

(a + b)(a - b) = a² - b².

Środkowe wyrazy redukują się, dlatego w wyniku zostają tylko dwa kwadraty.

• (x + 5)(x - 5) = x² - 25.
• (2a + 3)(2a - 3) = 4a² - 9.

Jak rozpoznać właściwy wzór?

• Ten sam nawias podniesiony do kwadratu z plusem: kwadrat sumy.
• Ten sam nawias podniesiony do kwadratu z minusem: kwadrat różnicy.
• Dwa prawie identyczne nawiasy, różniące się tylko znakiem: różnica kwadratów.

Od wzoru do nawiasu

Wzory można stosować także w drugą stronę, czyli do rozkładania wyrażeń na czynniki.

• x² + 6x + 9 = (x + 3)².
• x² - 10x + 25 = (x - 5)².
• x² - 16 = (x - 4)(x + 4).

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-Ś-K: Kwadrat pierwszego, Środek podwójny, Kwadrat drugiego. Wyobraź sobie pałac z trzema pokojami: w pierwszym stoi gigantyczne a², w środkowym dwa roboty niosą razem ab, a w ostatnim skacze b². Gdy w nawiasie jest minus, tylko środkowy pokój zmienia kolor na czerwony.

Przykład krok po kroku

Rozwiń wyrażenie (2x - 5)².

• Krok 1: Rozpoznaj kwadrat różnicy.
• Krok 2: Kwadrat pierwszego składnika: (2x)² = 4x².
• Krok 3: Podwojony iloczyn: 2 · 2x · 5 = 20x.
• Krok 4: Znak środkowego wyrazu jest ujemny.
• Krok 5: Kwadrat drugiego składnika: 5² = 25.
• Wynik: 4x² - 20x + 25.

Najczęstsze błędy

• Pomijanie środkowego wyrazu 2ab.
• Zapisywanie (a + b)² jako a² + b².
• Stawianie minusa przed b² w kwadracie różnicy.
• Niepodnoszenie współczynnika do kwadratu, na przykład (2x)² = 2x² zamiast 4x².
• Mylenie kwadratu różnicy z różnicą kwadratów.

Najczęstsze pytania