Wzory skróconego mnożenia pomagają szybko rozwijać szczególne nawiasy i rozpoznawać gotowe iloczyny. Wynikają ze zwykłego mnożenia każdego składnika przez każdy. Najważniejsze jest rozróżnienie kwadratu sumy, kwadratu różnicy oraz iloczynu sumy i różnicy.
1. Kwadrat nawiasu oznacza dwa jednakowe czynniki
Zapis \((a+b)^2\) oznacza \((a+b)(a+b)\). Nie podnosimy osobno do kwadratu tylko widocznych składników. Wymnażamy cztery iloczyny: \(a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b\). Otrzymujemy \(a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\).
Litery a i b są miejscami na całe wyrażenia. W \((2x+3)^2\) rolę a odgrywa całe \(2x\), a rolę b liczba trzy. Jeśli pominiemy dwójkę przy potęgowaniu lub w środkowym iloczynie, wynik będzie błędny.
2. Trzy wzory i ich różnice
Kwadrat sumy: kwadrat pierwszego składnika, plus podwojony iloczyn obu, plus kwadrat drugiego.
Kwadrat różnicy ma postać \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Wynika z \((a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2\). Przed podwojonym iloczynem stoi minus, a przed kwadratem b plus, bo \((-b)(-b)=b^2\).
Iloczyn sumy i różnicy to \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Tu składniki mieszane \(ab\) i \(-ab\) się znoszą. Zostają dwa wyrazy, a nie trzy. Wzory obowiązują dla wszystkich rzeczywistych a i b.
Zanim wybierzesz wzór, odczytaj zewnętrzną operację: czy cały nawias jest do kwadratu, czy mnożysz dwa nawiasy różniące się znakiem? Sam minus w środku nie wystarcza do wyboru różnicy kwadratów.
3. Rozwijanie kwadratu różnicy krok po kroku
Rozwiń \((2x-3)^2\). Jest to kwadrat różnicy, więc podstawiamy \(a=2x\), \(b=3\).
- Podnieś cały pierwszy składnik do kwadratu, łącznie ze współczynnikiem.\((2x)^2=4x^2\)
- Oblicz podwojony iloczyn i zachowaj minus przewidziany we wzorze.\(-2\cdot2x\cdot3=-12x\)
- Dodaj kwadrat drugiego składnika.\(3^2=9\)
- Połącz trzy otrzymane składniki.\((2x-3)^2=4x^2-12x+9\)
Dla \(x=2\) nawias ma wartość jeden, a jego kwadrat również jeden. Rozwinięcie daje \(16-24+9=1\). Dla porównania \((2x-3)(2x+3)=4x^2-9\): inne nawiasy prowadzą do innego wzoru.
4. Rozpoznawanie wzoru w drugą stronę
Wyrażenie \(x^2+6x+9\) zaczyna się od kwadratu x i kończy kwadratem trzech. Sprawdzamy środek: \(2\cdot x\cdot3=6x\). Wszystkie części pasują, więc \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). Nie wystarczy dopasować tylko pierwszy i ostatni składnik.
W \(x^2-6x+9\) środkowy znak jest ujemny, więc otrzymujemy \((x-3)^2\). Natomiast \(x^2+5x+9\) nie jest kwadratem \((x+3)^2\), bo środkowy współczynnik powinien wynosić sześć, a nie pięć.
Dla \(x^2-49\) rozpoznajemy różnicę dwóch kwadratów: \(49=7^2\), więc \(x^2-49=(x-7)(x+7)\). Zapis \((x-7)^2\) byłby błędny, ponieważ po rozwinięciu zawiera dodatkowo składnik \(-14x\).
5. Zastosowanie w rachunkach i dokładnych zapisach
Aby obliczyć \(99^2\), możemy zapisać \((100-1)^2\). Dostajemy \(10000-200+1=9801\). Trzeba uwzględnić środkowy składnik, mimo że od setki odjęliśmy tylko jeden.
Iloczyn \(103\cdot97\) to \((100+3)(100-3)=10000-9=9991\). Wzór skraca rachunek, ponieważ składniki mieszane się znoszą.
Wzory działają również z pierwiastkami: \((\sqrt2+1)^2=2+2\sqrt2+1=3+2\sqrt2\). Pierwiastek w środkowym wyrazie nie znika, bo jest częścią iloczynu, a nie jego kwadratem. Dla dodatnich długości rysunek pól pokazuje pochodzenie wzoru, a dla liczb ujemnych uzasadnieniem pozostaje zwykłe mnożenie nawiasów.
6. Sprawdź środek i ostatni znak
Przy kwadracie różnicy zapisuj plus przed kwadratem drugiego składnika. Nie oznacza to, że środkowy wyraz jest liczbowo ujemny dla każdej pary a i b; jego wzór to \(-2ab\), a wartość zależy od znaków liter. Gdy nie pamiętasz wzoru, rozpisz kwadrat jako dwa jednakowe nawiasy i wykonaj cztery iloczyny.