Mnożenie sum algebraicznych polega na pomnożeniu każdego składnika jednego nawiasu przez każdy składnik drugiego. Najpierw tworzymy wszystkie iloczyny, a dopiero potem łączymy wyrazy podobne. Zasada jest taka sama jak przy mnożeniu sum zwykłych liczb.
1. Co nazywamy sumą algebraiczną?
Wyrażenie \(x+3\) jest sumą dwóch składników. W \(x-3\) też możemy myśleć o sumie: składnikami są x i minus trzy. Znak należy do składnika. Zapis \(2(x+3)\) oznacza pomnożenie dwójki przez całe wyrażenie w nawiasie, a nie tylko przez pierwszą literę.
Litery zastępują liczby, a zapis bez kropki oznacza mnożenie: \(3x=3\cdot x\). Potęga \(x^2\) to \(x\cdot x\). Wyrazy podobne mają tę samą część literową, na przykład \(2x\) i \(5x\); po wymnożeniu nawiasów będziemy je łączyć.
Wyrażenie składające się z jednego iloczynu liczby i potęg liter nazywamy jednomianem. Przykładem jest \(-3x\). Nawias z dwoma składnikami, taki jak \(x+4\), nazywamy dwumianem. Nazwy opisują budowę zapisu, a nie dodatkową metodę obliczeń.
2. Jeden czynnik przed nawiasem
Zobacz liczby: \(3(4+2)=3\cdot6=18\). Ten sam wynik otrzymamy, biorąc trzy czwórki i trzy dwójki: \(3\cdot4+3\cdot2=12+6=18\). To rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Czynnik przed nawiasem mnoży każdy składnik wewnątrz. Reguła działa dla liczb rzeczywistych, także ujemnych, i dla wyrażeń, których wartości są określone.
Dlatego \(3x(x-2)=3x\cdot x+3x\cdot(-2)=3x^2-6x\). Najpierw ustalamy osobno znak, współczynnik i część literową każdego iloczynu. Dla \(-2(x-3)\) mamy \(-2x+6\), bo minus dwa razy minus trzy daje plus sześć.
Sam minus przed nawiasem to mnożenie przez minus jeden: \(-(x-4)=-x+4\). Nie zmieniamy jedynie pierwszego znaku, lecz znak każdego składnika nawiasu.
3. Dwa nawiasy: dlaczego cztery iloczyny?
W \((x+2)(x+3)\) pierwszy nawias ma dwa składniki i każdy mnoży dwa składniki drugiego. Powstają cztery iloczyny: \(x\cdot x\), \(x\cdot3\), \(2\cdot x\) oraz \(2\cdot3\). Po zapisaniu wszystkich mamy \(x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6\).
Możesz organizować rachunek w dwóch wierszach: najpierw pierwszy składnik pierwszego nawiasu razy cały drugi nawias, następnie drugi składnik razy cały drugi nawias. Dzięki temu każdy składnik zostaje użyty i żaden iloczyn nie znika.
Ogólnie \((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\). Przy dwóch składnikach i trzech składnikach powstaje sześć iloczynów. Nie ucz się wyłącznie schematu dla czterech pozycji; ważna jest reguła „każdy z każdym”.
4. Pełny przykład ze znakami
Rozwiń \((2x-3)(x+4)\). Składniki pierwszego nawiasu to \(2x\) i \(-3\). Minus zabieramy do obu iloczynów tworzonych przez drugi składnik.
- Pomnóż pierwszy składnik przez każdy składnik drugiego nawiasu.\(2x(x+4)=2x^2+8x\)
- Pomnóż drugi składnik, razem z minusem, przez cały drugi nawias.\(-3(x+4)=-3x-12\)
- Zapisz wszystkie otrzymane składniki.\(2x^2+8x-3x-12\)
- Połącz tylko wyrazy podobne, czyli składniki z samym x.\(2x^2+5x-12\)
Sprawdź dla \(x=2\): nawiasy dają \((4-3)(2+4)=1\cdot6=6\). Wynik rozwinięcia daje \(2\cdot4+5\cdot2-12=8+10-12=6\). Podstawienie jest kontrolą rachunkową; uzasadnienie dla dowolnego x wynika z wykonania wszystkich iloczynów.
5. Więcej składników i potęgi liter
Rozwiń \((x-2)(x^2+x+3)\). Pierwsza część to \(x(x^2+x+3)=x^3+x^2+3x\). Druga to \(-2(x^2+x+3)=-2x^2-2x-6\). Łączymy je: \(x^3+x^2+3x-2x^2-2x-6=x^3-x^2+x-6\).
Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki: \(x\cdot x^2=x^3\). Podczas późniejszego dodawania wyrazów podobnych wykładnik zostaje: \(x^2-2x^2=-x^2\). Są to dwa różne etapy i dwie różne reguły.
Współczynniki mnożymy osobno: \((-2x^2)(-3x)=6x^3\). Dwa minusy dają plus, iloczyn dwóch i trzech daje sześć, a potęgi x łączą się do trzeciej. Jeżeli w wyrażeniu występują różne litery, pozostaw je: \(2a\cdot3b=6ab\), a nie sześć a do kwadratu.
6. Kontrola kompletności
Przed redukcją policz, ile iloczynów powinno powstać. Prześledź każdy składnik pierwszego nawiasu i sprawdź, czy pomnożył cały drugi. Następnie sprawdź znaki i dopiero wtedy łącz podobne części. Wynik uporządkuj według malejących potęg, aby łatwiej dostrzec brakujący składnik.