Mnożenie sum algebraicznych

Wyobraź sobie dwa pudełka: w pierwszym są czerwone i niebieskie kulki, a w drugim małe i duże. Aby policzyć wszystkie możliwe pary, musisz połączyć każdy element z pierwszego pudełka z każdym elementem z drugiego. Tak samo działa mnożenie sum algebraicznych.

Co oznacza mnożenie nawiasów?

Gdy mnożymy dwie sumy algebraiczne, każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy składnik drugiego nawiasu. Wykorzystujemy rozdzielność mnożenia względem dodawania.

• (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
• (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6.

Model prostokąta

Możesz wyobrazić sobie prostokąt o bokach x + 2 oraz x + 3. Dzieląc każdy bok na dwie części, otrzymujesz cztery mniejsze pola: x², 3x, 2x i 6. Ich suma daje wynik mnożenia nawiasów.

Mnożenie jednomianu przez sumę

Jeśli przed nawiasem stoi jeden wyraz, mnożymy przez niego każdy składnik w nawiasie.

• 3x(x + 4) = 3x² + 12x.
• -2a(3a - 5) = -6a² + 10a.

Mnożenie dwóch sum

Najpierw mnożymy pierwszy składnik pierwszego nawiasu przez cały drugi nawias, a potem drugi składnik pierwszego nawiasu przez cały drugi nawias.

• (x + 4)(x - 2) = x(x - 2) + 4(x - 2).
• = x² - 2x + 4x - 8.
• = x² + 2x - 8.

Znaki podczas mnożenia

Przy mnożeniu współczynników pamiętaj o zasadach znaków.

• plus razy plus daje plus.
• plus razy minus daje minus.
• minus razy plus daje minus.
• minus razy minus daje plus.

Potęgi tych samych liter

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.

• x · x = x².
• x² · x³ = x⁵.
• 2a · 3a² = 6a³.

Redukcja po mnożeniu

Po wykonaniu wszystkich iloczynów trzeba połączyć wyrazy podobne.

• (x + 5)(x + 2) = x² + 2x + 5x + 10.
• Po redukcji: x² + 7x + 10.

Trzy ważne wzory

• (a + b)² = a² + 2ab + b².
• (a - b)² = a² - 2ab + b².
• (a + b)(a - b) = a² - b².

Wzory skróconego mnożenia są szybkimi wersjami zwykłego mnożenia nawiasów. Warto jednak umieć odtworzyć je przez pełne wymnożenie.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-A-Ż-D-Y: Każdy składnik, Atakuję drugi nawias, Żadnego nie pomijam, Dopiero potem redukuję, Yes — sprawdzam znaki. Wyobraź sobie cztery gigantyczne rękawice bokserskie: każdy składnik z pierwszego nawiasu uderza kolejno każdy składnik z drugiego, a na końcu podobne wyrazy wskakują do wspólnego worka.

Przykład krok po kroku

Oblicz (2x - 3)(x + 4).

• Krok 1: 2x · x = 2x².
• Krok 2: 2x · 4 = 8x.
• Krok 3: -3 · x = -3x.
• Krok 4: -3 · 4 = -12.
• Krok 5: Zapisz wszystko: 2x² + 8x - 3x - 12.
• Krok 6: Zredukuj wyrazy podobne: 8x - 3x = 5x.
• Wynik: 2x² + 5x - 12.

Najczęstsze błędy

• Mnożenie tylko pierwszych składników nawiasów.
• Pomijanie jednego z czterech iloczynów.
• Błąd znaku przy iloczynie dwóch liczb ujemnych.
• Zapisywanie x · x jako 2x zamiast x².
• Brak redukcji wyrazów podobnych po wymnożeniu.

Najczęstsze pytania