Redukowanie wyrazów podobnych to łączenie składników opisujących tę samą część literową. Na przykład \(3x+2x=5x\), bo trzy porcje x i dwie porcje x dają pięć takich porcji. Litera i jej potęga pozostają bez zmian.
1. Co oznaczają litery i składniki wyrażenia?
Litera x może zastępować liczbę, której jeszcze nie znamy lub której wartość może się zmieniać. Zapis \(3x\) oznacza \(3\cdot x\), a \(x^2\) oznacza \(x\cdot x\). Dla \(x=2\) są to odpowiednio sześć i cztery. Mnożenie przez trzy i podnoszenie do kwadratu to inne działania.
Wyrażenie \(3x-2y+7\) ma trzy składniki: \(3x\), \(-2y\) oraz \(7\). Znak minus zabieramy razem z następującym po nim składnikiem. Liczba mnożąca część literową to współczynnik. Tutaj są to trzy i minus dwa, a liczba siedem jest wyrazem wolnym, czyli składnikiem bez litery.
W samym x nie widać współczynnika, ale wynosi on jeden: \(x=1x\). W \(-x\) współczynnik wynosi minus jeden. To przydaje się, gdy odejmujemy lub dodajemy taki składnik do innych.
2. Kiedy wyrazy są podobne?
Wyrazy podobne muszą mieć te same litery w tych samych potęgach. \(2x^2\) i \(-5x^2\) są podobne. \(2x\) i \(2x^2\) nie są podobne, bo różnią się potęgą. \(3x\) i \(3y\) nie są podobne, bo różnią się literą.
Kolejność czynników nie ma znaczenia: \(ab=ba\). Dlatego \(3ab\) i \(-2ba\) można połączyć. Natomiast \(x^2y\) i \(xy^2\) mają inne potęgi przy poszczególnych literach, więc pozostają osobnymi rodzajami składników.
Zwykłe liczby bez liter również łączymy ze sobą. W \(3x+4-2x+5\) osobno obliczamy trzy x minus dwa x i osobno cztery plus pięć. Otrzymujemy \(x+9\), a nie dziesięć x. Nie zamieniamy stałej dziewięć w dodatkowe porcje x.
3. Dlaczego dodajemy tylko współczynniki?
Rozdzielność mnożenia mówi, że \((3+2)x=3x+2x\). Czytając ją w drugą stronę, widzimy, że wspólna część x pozostaje, a dodajemy jedynie liczbę jej powtórzeń. Stąd \(3x+2x=(3+2)x=5x\).
\(U\) oznacza tę samą część literową w obu składnikach, na przykład x albo \(x^2y\). Litery a i b oznaczają współczynniki liczbowe.
Dla \(-4a+a\) współczynniki to minus cztery i jeden: \((-4+1)a=-3a\). Dla \(6x-6x\) suma współczynników wynosi zero, więc składniki się znoszą: \(0x=0\). Wykładnik się nie zmienia. Zwiększanie wykładników dotyczy mnożenia potęg, nie dodawania takich samych wyrazów.
4. Porządkowanie dłuższego wyrażenia
Uprość \(4x^2-3x+2x^2+x-7\). Są tu trzy rodzaje składników: z kwadratem x, z samym x i bez litery. Możesz oznaczyć każdą grupę osobno, ale przepisując, zawsze zachowuj znak.
- Połącz składniki zawierające dokładnie kwadrat x.\(4x^2+2x^2=(4+2)x^2=6x^2\)
- Przy samym x pamiętaj o niewidocznym współczynniku jeden.\(-3x+x=(-3+1)x=-2x\)
- Wyraz wolny nie ma partnera, więc zostaje. Zapisz razem wyniki grup.\(6x^2-2x-7\)
Wynik jest uporządkowany od wyższej potęgi do niższej. To wygodna konwencja zapisu, nie dodatkowe działanie. Kontrola dla \(x=2\): wyrażenie początkowe daje \(16-6+8+2-7=13\), a końcowe \(24-4-7=13\). Zgodność dla jednej liczby pomaga wykryć pomyłkę, lecz ogólną poprawność uzasadnia grupowanie wyrazów podobnych.
5. Nawiasy i kilka liter
Przed redukcją czasem trzeba usunąć nawias. W \(2x-(3x-4)+x\) minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich jego składników: \(2x-3x+4+x\). Teraz współczynniki x sumują się do \(2-3+1=0\), więc całe wyrażenie upraszcza się do czterech.
Dla \(2ab-5ba+3a^2+ab\) najpierw zauważamy, że ba i ab to ta sama część literowa. Składniki z ab dają \((2-5+1)ab=-2ab\). Składnik \(3a^2\) jest innego rodzaju i zostaje. Wynik to \(3a^2-2ab\).
Współczynniki mogą być ułamkami: \(\frac12x+\frac34x=(\frac24+\frac34)x=\frac54x\). Trudność jest wtedy rachunkiem na ułamkach, a nie nową regułą redukcji. Jeśli znasz konkretną zależność między literami z treści zadania, możesz ją dodatkowo wykorzystać; bez takiej informacji x i y traktujemy jako niezależne symbole.
6. Granica upraszczania
Wyrażenie nie musi skończyć się jednym składnikiem. Zatrzymaj się, gdy nie ma już dwóch jednakowych części literowych. Sprawdź szczególnie ukryte współczynniki przy x i minus x, znaki zabrane ze składnikami oraz liczby bez liter. Powinieneś umieć uzasadnić, dlaczego \(x+x=2x\), a \(x\cdot x=x^2\).