Zależności między funkcjami trygonometrycznymi pozwalają obliczyć brakujące wartości, gdy znamy jedną z nich. Dla kąta ostrego wszystkie trzy wartości są dodatnie, co pomaga wybrać właściwy znak przy pierwiastkowaniu.
Wróćmy do znaczenia boków
Oznaczmy przyprostokątną naprzeciw wybranego kąta \(\alpha\) przez \(a\), przyprostokątną przy tym kącie przez \(b\), a przeciwprostokątną przez \(c\). Mamy \(\sin\alpha=\frac ac\), \(\cos\alpha=\frac bc\) oraz \(\tan\alpha=\frac ab\).
Gdy dzielimy sinus przez cosinus, otrzymujemy \(\frac ac:\frac bc=\frac ac\cdot\frac cb=\frac ab\). Długość przeciwprostokątnej skraca się, dlatego wynik jest tangensem. Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność.
Dwie podstawowe zależności
Pierwsza równość wymaga \(\cos\alpha\neq0\). Dla kąta ostrego ten warunek jest spełniony. Zapis \(\sin^2\alpha\) oznacza \((\sin\alpha)^2\).
Drugą równość nazywamy jedynką trygonometryczną. Wynika z twierdzenia Pitagorasa po podzieleniu \(a^2+b^2=c^2\) przez \(c^2\). Mówi o sumie kwadratów, nie o sumie samych wartości sinusa i cosinusa.
Przykład: od sinusa do pozostałych funkcji
Dany jest kąt ostry i \(\sin\alpha=\frac5{13}\). Szukamy cosinusa i tangensa.
- Odejmij kwadrat sinusa od jedności, zapisanej z tym samym mianownikiem.\(\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\)
- Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni.\(\cos\alpha=\frac{12}{13}\)
- Podziel sinus przez obliczony cosinus.\(\tan\alpha=\frac5{13}:\frac{12}{13}=\frac5{12}\)
Sprawdzenie daje \(\frac{25}{169}+\frac{144}{169}=1\). Dopiero para spełniająca tę równość może opisywać sinus i cosinus tego samego kąta.
Kąty dopełniające się
W trójkącie prostokątnym dwa kąty ostre sumują się do \(90^\circ\). Jeśli jeden to \(\alpha\), drugi wynosi \(90^\circ-\alpha\). Zmiana wybranego kąta zamienia role przyprostokątnych, ale nie zmienia przeciwprostokątnej.
Dlatego \(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\) i \(\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\). Na przykład \(\sin30^\circ=\cos60^\circ=\frac12\). Dodatkowo tangensy tych dwóch kątów są odwrotnościami, bo raz dzielimy \(a\) przez \(b\), a raz \(b\) przez \(a\).
Typowy błąd: dane trzeba sprawdzić
Którą zależność wybrać?
Znając sinus lub cosinus, użyj jedynki trygonometrycznej, a potem ilorazu. Znając tangens, możesz przyjąć proporcjonalne przyprostokątne: dla \(\tan\alpha=2\) wybierz \(a=2\), \(b=1\), więc \(c=\sqrt5\). Wtedy \(\sin\alpha=\frac2{\sqrt5}\) oraz \(\cos\alpha=\frac1{\sqrt5}\). Wszystkie trzy wartości muszą dotyczyć tego samego kąta.