Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

Wyobraź sobie trzy koła zębate oznaczone SIN, COS i TG. Gdy poruszysz dwa pierwsze, trzecie zaczyna obracać się automatycznie. Tak właśnie działają zależności między funkcjami trygonometrycznymi: wartości nie są niezależne, lecz wynikają jedna z drugiej.

Konkret: trójkąt jako źródło zależności

W trójkącie prostokątnym dla kąta ostrego α oznaczmy:

• bok przeciwległy przez a,
• bok przyległy przez b,
• przeciwprostokątną przez c.

Wtedy:

• sin α=a/c,
• cos α=b/c,
• tg α=a/b.

Już z tych trzech ilorazów widać, że tangens można otrzymać przez podzielenie sinusa przez cosinus.

Reprezentacja: tangens z sinusa i cosinusa

Dzielimy sin α przez cos α:

(a/c)/(b/c)=a/b

A ponieważ a/b=tg α, otrzymujemy:

tg α=sin α/cos α

Zależność ta działa wtedy, gdy cos α≠0.

Abstrakcja: tożsamość jedynkowa

Z twierdzenia Pitagorasa mamy a²+b²=c². Dzielimy całe równanie przez c²:

a²/c²+b²/c²=1

Otrzymujemy najważniejszą zależność:

sin² α+cos² α=1

Dzięki niej można wyznaczyć sinus, gdy znamy cosinus, albo cosinus, gdy znamy sinus.

Jak wyznaczyć brakującą wartość?

• Jeśli znasz sin α, oblicz cos² α=1-sin² α.
• Jeśli znasz cos α, oblicz sin² α=1-cos² α.
• Dla kąta ostrego wybierasz dodatni pierwiastek.
• Następnie możesz obliczyć tg α=sin α/cos α.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim J-P-D: Jedynka łączy sinus i cosinus, Pierwiastkuj dodatnio dla kąta ostrego, Dziel sinus przez cosinus, aby dostać tangens. W pałacu pamięci na dywanie leży wielka jedynka, a po jej lewej stronie skacze SIN², po prawej COS². Oba wpadają do jednego kosza oznaczonego 1. Potem gigantyczny znak dzielenia przecina SIN przez COS i z hukiem wyskakuje TG.

Przykład krok po kroku: cosinus z sinusa

Dany jest kąt ostry α i sin α=3/5. Oblicz cos α.

• Krok 1: sin² α+cos² α=1.
• Krok 2: (3/5)²+cos² α=1.
• Krok 3: 9/25+cos² α=25/25.
• Krok 4: cos² α=16/25.
• Krok 5: cos α=4/5, ponieważ α jest kątem ostrym.

Przykład krok po kroku: tangens z sinusa i cosinusa

Dla tego samego kąta oblicz tg α.

• Krok 1: tg α=sin α/cos α.
• Krok 2: tg α=(3/5)/(4/5).
• Krok 3: tg α=3/4.

Przykład krok po kroku: sinus z cosinusa

Dany jest kąt ostry β i cos β=12/13. Oblicz sin β.

• Krok 1: sin² β+cos² β=1.
• Krok 2: sin² β+(12/13)²=1.
• Krok 3: sin² β+144/169=169/169.
• Krok 4: sin² β=25/169.
• Krok 5: sin β=5/13.

Przykład krok po kroku: wyrażenie bez wyznaczania kąta

Wiadomo, że sin α=5/13 i cos α=12/13. Oblicz 13tg α.

• Krok 1: tg α=(5/13)/(12/13)=5/12.
• Krok 2: 13tg α=13·5/12.
• Krok 3: wynik wynosi 65/12.

Ważna uwaga o znaku

Jeżeli zadanie mówi, że α jest kątem ostrym, sinus, cosinus i tangens są dodatnie. Dlatego po spierwiastkowaniu wybieramy dodatnią wartość. Bez informacji o położeniu kąta znak trzeba ustalić z dodatkowych danych.

Najczęstsze błędy

• Zapisywanie sin α+cos α=1 zamiast sin² α+cos² α=1.
• Pomijanie kwadratu przy podstawianiu wartości.
• Branie ujemnego pierwiastka dla kąta ostrego.
• Odwracanie wzoru i liczenie tg α=cos α/sin α.
• Dzielenie ułamków bez odwrócenia drugiego ułamka.
• Zaokrąglanie wartości dokładnych zbyt wcześnie.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy sin² α+cos² α=1.
• Dla kąta ostrego sinus i cosinus powinny należeć do przedziału od 0 do 1.
• Tangens powinien zgadzać się z ilorazem sinusa i cosinusa.
• Jeżeli sin α=3/5 i cos α=4/5, wartości tworzą znaną trójkę pitagorejską 3-4-5.

Najczęstsze pytania