Funkcje trygonometryczne kątów szczególnych

Wyobraź sobie dwa modele z klocków. Pierwszy to połowa kwadratu, a drugi to połowa trójkąta równobocznego. Z tych dwóch prostych konstrukcji można odtworzyć wszystkie najważniejsze wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych.

Konkret: dwa trójkąty, cała tabela

Potrzebujesz tylko dwóch figur:

• trójkąta 45°-45°-90° otrzymanego z przekątnej kwadratu,
• trójkąta 30°-60°-90° otrzymanego z wysokości trójkąta równobocznego.

To wystarczy, aby zrozumieć wartości sinusa, cosinusa i tangensa bez mechanicznego zapamiętywania.

Reprezentacja: trójkąt 45°-45°-90°

Weź kwadrat o boku 1. Jego przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne.

• Przyprostokątne mają długości 1 i 1.
• Przeciwprostokątna ma długość √2.
• sin 45°=1/√2=√2/2.
• cos 45°=1/√2=√2/2.
• tg 45°=1/1=1.

Reprezentacja: trójkąt 30°-60°-90°

Weź trójkąt równoboczny o boku 2 i poprowadź wysokość. Otrzymasz trójkąt prostokątny o bokach 1, √3 i 2.

• Dla 30°: bok przeciwległy ma 1, przyległy √3, przeciwprostokątna 2.
• Dla 60°: bok przeciwległy ma √3, przyległy 1, przeciwprostokątna 2.

Abstrakcja: dokładne wartości

• sin 30°=1/2, cos 30°=√3/2, tg 30°=√3/3.
• sin 45°=√2/2, cos 45°=√2/2, tg 45°=1.
• sin 60°=√3/2, cos 60°=1/2, tg 60°=√3.
• sin 0°=0, cos 0°=1, tg 0°=0.
• sin 90°=1, cos 90°=0, a tg 90° nie istnieje.

Dlaczego tg 90° nie istnieje?

Korzystamy ze wzoru tg α=sin α/cos α. Dla 90° mamy cos 90°=0, więc otrzymalibyśmy dzielenie przez zero. Dlatego tangens kąta 90° nie jest określony.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-P-T: Kwadrat daje 45°, Połowa trójkąta równobocznego daje 30° i 60°, Tabela powstaje sama. W pałacu pamięci przekątna kwadratu rozcina podłogę na dwa identyczne kawałki i krzyczy „√2/2, √2/2!”. Obok gigantyczny trójkąt równoboczny pęka na pół, a z jego wnętrza wyskakują liczby 1, √3 i 2. Cyfra 1 biegnie do kąta 30°, a √3 skacze do kąta 60°.

Schemat pierwiastkowy dla sinusa

Dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90° sinus można zapisać jako:

√0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2

Po uproszczeniu otrzymujemy kolejno: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1.

Schemat pierwiastkowy dla cosinusa

Cosinus ma te same wartości, ale w odwrotnej kolejności:

√4/2, √3/2, √2/2, √1/2, √0/2

Czyli: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0.

Jak odtworzyć tangens?

Nie musisz uczyć się go osobno. Użyj wzoru:

tg α=sin α/cos α

• tg 30°=(1/2)/(√3/2)=1/√3=√3/3.
• tg 45°=(√2/2)/(√2/2)=1.
• tg 60°=(√3/2)/(1/2)=√3.

Przykład krok po kroku: wartość wyrażenia

Oblicz A=sin 60°·cos 30°.

• Krok 1: sin 60°=√3/2.
• Krok 2: cos 30°=√3/2.
• Krok 3: A=(√3/2)·(√3/2).
• Krok 4: A=3/4.

Przykład krok po kroku: suma wartości

Oblicz B=2cos 60°+tg 45°.

• Krok 1: cos 60°=1/2.
• Krok 2: tg 45°=1.
• Krok 3: B=2·1/2+1.
• Krok 4: B=2.

Przykład krok po kroku: równanie

Rozwiąż równanie x·sin 30°=6.

• Krok 1: sin 30°=1/2.
• Krok 2: x·1/2=6.
• Krok 3: x=12.

Przykład krok po kroku: porównanie wartości

Porównaj sin 30° i cos 60°.

• sin 30°=1/2.
• cos 60°=1/2.
• Wartości są równe.

Najczęstsze błędy

• Mylenie sin 30° z sin 60°.
• Zapisywanie cos 30° jako 1/2.
• Zapominanie o usunięciu niewymierności z mianownika przy tg 30°.
• Twierdzenie, że tg 90°=0.
• Mylenie √3/2 z √(3/2).
• Wpisywanie wartości przybliżonych zamiast dokładnych, gdy zadanie tego nie wymaga.

Kontrola wyniku

• Dla 45° sinus i cosinus muszą być równe.
• Dla 30° sinus jest mniejszy od cosinusa.
• Dla 60° sinus jest większy od cosinusa.
• Wartości sinusa i cosinusa muszą spełniać sin² α+cos² α=1.
• Tangens powinien zgadzać się z ilorazem sinusa i cosinusa.

Najczęstsze pytania