Wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla \(30^\circ\), \(45^\circ\) oraz \(60^\circ\) można obliczyć dokładnie z dwóch prostych trójkątów. Nie trzeba zaczynać od zapamiętania tabeli bez zrozumienia, skąd pochodzą jej liczby.
Co oznacza kąt szczególny?
W tych trzech przypadkach wartości funkcji zapisujemy za pomocą prostych ułamków i pierwiastków. Symbol \(\sqrt2\) oznacza dodatnią liczbę, której kwadrat wynosi \(2\). Zapis dokładny, na przykład \(\frac{\sqrt2}{2}\), jest zwykle wygodniejszy niż zaokrąglone \(0{,}707\).
Trójkąt z kątem czterdziestu pięciu stopni
Weź trójkąt prostokątny o równych przyprostokątnych długości \(1\). Jego kąty ostre są równe i razem mają \(90^\circ\), więc każdy ma \(45^\circ\). Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna wynosi \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\).
Zatem \(\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\), a \(\tan45^\circ=1\). Aby usunąć pierwiastek z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt2\).
Skąd wartości dla trzydziestu i sześćdziesięciu stopni?
Przetnij trójkąt równoboczny o boku \(2\) jego wysokością. Powstają dwa trójkąty prostokątne. W każdym przeciwprostokątna ma długość \(2\), krótsza przyprostokątna \(1\), a wysokość \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3\). Kąt naprzeciw krótszej przyprostokątnej ma \(30^\circ\), drugi ostry ma \(60^\circ\).
Stąd \(\sin30^\circ=\frac12\), \(\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\). Po zamianie kąta role przyprostokątnych się odwracają.
| Kąt | Sinus | Cosinus | Tangens |
|---|---|---|---|
| \(30^\circ\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac12\) | \(\sqrt3\) |
Przykład wykorzystania tabeli
Obliczmy \(2\sin30^\circ+\cos60^\circ\). Najpierw odczytujemy wartości: \(\sin30^\circ=\frac12\) oraz \(\cos60^\circ=\frac12\). Po podstawieniu mamy \(2\cdot\frac12+\frac12=1+\frac12=\frac32\).
Dla \(\sin^245^\circ\) najpierw ustalamy wartość sinusa, a potem podnosimy ją do kwadratu: \(\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac24=\frac12\). Wykładnik dotyczy wartości funkcji, nie miary kąta.
Typowy błąd
Jak zapamiętać i sprawdzić?
Sinusy dla rosnących kątów \(30^\circ,45^\circ,60^\circ\) to kolejno \(\frac{\sqrt1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2}\). Cosinusy odczytujesz w odwrotnej kolejności. Tangens możesz odtworzyć jako sinus podzielony przez cosinus. Przy korzystaniu z kalkulatora kąt podany w stopniach wymaga trybu stopni, zwykle oznaczanego DEG.