Wartości funkcji trygonometrycznych

Wyobraź sobie trzy rampy: łagodną, średnią i bardzo stromą. Każda ma inny kąt nachylenia, więc zmieniają się proporcje między wysokością, długością podstawy i długością samej rampy. Wartości funkcji trygonometrycznych są właśnie liczbowym opisem tych proporcji.

Konkret: co oznacza wartość funkcji?

Dla kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym:

• sin α opisuje udział boku przeciwległego w przeciwprostokątnej,
• cos α opisuje udział boku przyległego w przeciwprostokątnej,
• tg α porównuje bok przeciwległy z przyległym.

Przykład: sin α=0,6 oznacza, że bok przeciwległy stanowi 60% długości przeciwprostokątnej.

Reprezentacja: jak zmieniają się wartości?

• Gdy kąt ostry rośnie, sin α rośnie.
• Gdy kąt ostry rośnie, cos α maleje.
• Gdy kąt ostry rośnie, tg α rośnie.
• Dla kątów ostrych sin α i cos α są dodatnie i mniejsze od 1.
• Tangens może być mniejszy, równy lub większy od 1.

Abstrakcja: najważniejsze wartości

• sin 30°=1/2, cos 30°=√3/2, tg 30°=√3/3.
• sin 45°=√2/2, cos 45°=√2/2, tg 45°=1.
• sin 60°=√3/2, cos 60°=1/2, tg 60°=√3.

Skąd biorą się wartości dla 45°?

Weź kwadrat o boku 1 i przetnij go przekątną. Powstaje trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych 1 i 1 oraz przeciwprostokątnej √2.

• sin 45°=1/√2=√2/2.
• cos 45°=1/√2=√2/2.
• tg 45°=1/1=1.

Skąd biorą się wartości dla 30° i 60°?

Weź trójkąt równoboczny o boku 2 i podziel go wysokością na pół. Otrzymasz trójkąt prostokątny o bokach 1, √3 i 2.

• Dla kąta 30° bok przeciwległy ma 1, przyległy √3, przeciwprostokątna 2.
• Dla kąta 60° bok przeciwległy ma √3, przyległy 1, przeciwprostokątna 2.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim S-C-T: Schody, Cofanie, Turbo. Sinus rośnie jak wchodzenie po schodach, Cosinus cofa się i maleje, a Tangens przy większym kącie odpala turbo. W pałacu pamięci widzisz trzy windy: SIN jedzie w górę, COS zjeżdża w dół, a TG wystrzeliwuje przez dach. Dla 45° dwie bliźniacze windy SIN i COS stoją dokładnie na tym samym piętrze: √2/2.

Prosty schemat zapamiętywania sinusa

Dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90° wartości sinusa można zapisać jako:

√0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2

Dla cosinusa kolejność jest odwrotna:

√4/2, √3/2, √2/2, √1/2, √0/2

Na maturze podstawowej szczególnie ważne są wartości dla 30°, 45° i 60°.

Przykład krok po kroku: odczyt wartości

Oblicz wartość wyrażenia 2sin 30°+cos 60°.

• Krok 1: sin 30°=1/2.
• Krok 2: cos 60°=1/2.
• Krok 3: 2·1/2+1/2=1+1/2.
• Krok 4: wynik wynosi 3/2.

Przykład krok po kroku: wykorzystanie tożsamości

Wiadomo, że sin α=3/5 i α jest kątem ostrym. Oblicz cos α.

• Krok 1: Korzystamy z sin² α+cos² α=1.
• Krok 2: (3/5)²+cos² α=1.
• Krok 3: 9/25+cos² α=25/25.
• Krok 4: cos² α=16/25.
• Krok 5: cos α=4/5, ponieważ dla kąta ostrego cosinus jest dodatni.

Przykład krok po kroku: obliczanie tangensa

Jeżeli sin α=3/5 i cos α=4/5, oblicz tg α.

• Krok 1: tg α=sin α/cos α.
• Krok 2: tg α=(3/5)/(4/5).
• Krok 3: tg α=3/4.

Kalkulator i wartości przybliżone

Dla kąta, który nie jest charakterystyczny, używamy kalkulatora w trybie DEG.

• sin 37°≈0,602.
• cos 37°≈0,799.
• tg 37°≈0,754.

Zaokrąglaj dopiero na końcu, zgodnie z poleceniem.

Najczęstsze błędy

• Mylenie wartości sin 30° i sin 60°.
• Zapisywanie tg 45° jako √2/2 zamiast 1.
• Uznawanie, że sinus lub cosinus kąta ostrego może być większy od 1.
• Branie ujemnego pierwiastka przy kącie ostrym.
• Używanie kalkulatora w trybie RAD zamiast DEG.
• Zaokrąglanie wyników pośrednich zbyt wcześnie.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy sin² α+cos² α=1.
• Jeśli α=45°, sinus i cosinus muszą być równe.
• Dla większego kąta ostrego sinus powinien być większy, a cosinus mniejszy.
• Jeśli sin α i cos α są znane, tg α powinien zgadzać się z ich ilorazem.

Najczęstsze pytania