Wartości funkcji trygonometrycznych obliczamy z odpowiednich proporcji boków. Jeśli brakuje jednej długości, najpierw wyznaczamy ją z twierdzenia Pitagorasa. Sam iloraz boków pozwala obliczyć funkcję bez wyznaczania miary kąta.
Co wiemy, a czego szukamy?
W trójkącie prostokątnym oznaczmy przyprostokątną naprzeciw kąta \(\alpha\) przez \(a\), drugą przyprostokątną przez \(b\), a przeciwprostokątną przez \(c\). Wtedy \(\sin\alpha=\frac ac\), \(\cos\alpha=\frac bc\), \(\tan\alpha=\frac ab\).
Informacja \(\sin\alpha=\frac35\) opisuje proporcję, a nie konkretne centymetry. Boki naprzeciw i przeciwprostokątna mogą wynosić \(3\) i \(5\), ale także \(6\) i \(10\). Do obliczania pozostałych ilorazów wygodnie wybrać najprostsze proporcjonalne długości.
Rysunek porządkuje dane
Na rysunku znamy bok naprzeciw kąta i przeciwprostokątną. Szukana przyprostokątna leży przy kącie. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej: \(a^2+b^2=c^2\).
Przykład: od dwóch boków do trzech funkcji
Przyjmijmy \(a=8\), \(c=17\). Obliczamy dodatnią długość \(b\).
- Odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej.\(b^2=17^2-8^2=289-64=225\)
- Długość boku jest dodatnia, więc wybierz dodatni pierwiastek.\(b=\sqrt{225}=15\)
- Wstaw właściwe pary boków do trzech definicji.\(\sin\alpha=\frac8{17},\quad \cos\alpha=\frac{15}{17},\quad \tan\alpha=\frac8{15}\)
Możemy skontrolować rysunek: bok naprzeciw kąta jest krótszy od przyprostokątnej przy kącie, dlatego tangens jest mniejszy od jednego.
Gdy podana jest jedna wartość funkcji
Wiemy, że \(\cos\alpha=\frac5{13}\), a kąt jest ostry. Wybierzmy proporcjonalne boki \(b=5\), \(c=13\). Brakujący bok spełnia \(a^2=13^2-5^2=169-25=144\), więc \(a=12\). Otrzymujemy \(\sin\alpha=\frac{12}{13}\) i \(\tan\alpha=\frac{12}{5}\).
Tangens większy od jednego jest tutaj poprawny: bok naprzeciw kąta jest dłuższy od przyprostokątnej przy nim. Nie stosujemy do tangensa ograniczenia obowiązującego dla sinusa i cosinusa.
Typowy błąd: odejmowanie długości
Jak ocenić otrzymaną wartość?
Dla kąta ostrego musi zachodzić \(0\lt\sin\alpha\lt1\) i \(0\lt\cos\alpha\lt1\). Dodatni tangens nie ma górnego ograniczenia. Jeśli sinus wyszedł większy od jednego, sprawdź, czy nie odwrócono ułamka. Jeśli używasz tablic do odczytania kąta, wynik może być przybliżony — wtedy stosuj znak \(\approx\), a nie równość.