Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego

Wyobraź sobie, że stoisz kilka metrów od wysokiego drzewa i patrzysz na jego czubek. Między ziemią, pniem i linią twojego wzroku powstaje trójkąt prostokątny. Trygonometria zamienia ten obraz w prosty zestaw proporcji, dzięki którym można obliczyć wysokość drzewa bez wchodzenia na nie.

Konkret: trzy boki względem kąta

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna. Dwa pozostałe boki to przyprostokątne. Ich nazwy zależą od wybranego kąta ostrego α:

• bok naprzeciw kąta α — przyprostokątna przeciwległa,
• bok obok kąta α — przyprostokątna przyległa,
• bok najdłuższy — przeciwprostokątna.

Reprezentacja: trzy proporcje

Sinus, cosinus i tangens są ilorazami długości boków:

• sin α = bok przeciwległy / przeciwprostokątna,
• cos α = bok przyległy / przeciwprostokątna,
• tg α = bok przeciwległy / bok przyległy.

Wartości te zależą wyłącznie od kąta, a nie od rozmiaru trójkąta. Dwa podobne trójkąty mają takie same wartości funkcji trygonometrycznych.

Abstrakcja: zapis symboliczny

Jeżeli c jest przeciwprostokątną, a względem kąta α bok a jest przeciwległy, a b przyległy, to:

sin α=a/c

cos α=b/c

tg α=a/b

Najważniejsze zależności

• sin α i cos α dla kąta ostrego są liczbami dodatnimi mniejszymi od 1.
• tg α może być większy od 1.
• tg α=sin α/cos α.
• sin² α+cos² α=1.

Wartości dla kątów charakterystycznych

• Dla 30°: sin 30°=1/2, cos 30°=√3/2, tg 30°=√3/3.
• Dla 45°: sin 45°=√2/2, cos 45°=√2/2, tg 45°=1.
• Dla 60°: sin 60°=√3/2, cos 60°=1/2, tg 60°=√3.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim N-P-O: Naprzeciwko dla sinusa, Przy kącie dla cosinusa, Oba bez przeciwprostokątnej dla tangensa. W pałacu pamięci wchodzisz do trójkątnego pokoju. Na ścianie naprzeciwko kąta tańczy gigantyczny SIN, przy kącie siedzi COS w fotelu, a TG skacze pomiędzy dwiema przyprostokątnymi i wyrzuca przeciwprostokątną przez okno.

Przykład krok po kroku: obliczanie boku

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 10 cm, a kąt ostry α ma 30°. Oblicz bok leżący naprzeciw kąta α.

• Krok 1: Szukany bok jest przeciwległy, a znamy przeciwprostokątną, więc wybieramy sinus.
• Krok 2: sin 30°=a/10.
• Krok 3: 1/2=a/10.
• Krok 4: a=10·1/2=5.
• Odpowiedź: szukany bok ma 5 cm.

Przykład krok po kroku: obliczanie kąta

Przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 6 cm, a przyległa 8 cm. Oblicz tangens kąta α.

• Krok 1: tg α=przeciwległa/przyległa.
• Krok 2: tg α=6/8.
• Krok 3: tg α=3/4=0,75.
• Jeżeli trzeba znaleźć miarę kąta, używamy kalkulatora: α≈36,9°.

Przykład praktyczny: wysokość drzewa

Stoisz 12 m od drzewa. Kąt między ziemią a linią wzroku do czubka drzewa wynosi 45°. Pomijając wysokość oczu, oblicz wysokość drzewa.

• Bok przyległy ma 12 m, a szukana wysokość jest bokiem przeciwległym.
• tg 45°=h/12.
• 1=h/12.
• h=12 m.

Jak wybrać funkcję?

• Zaznacz kąt, którego dotyczy zadanie.
• Nazwij znany i szukany bok względem tego kąta.
• Wybierz funkcję zawierającą oba te boki.
• Ułóż równanie i dopiero potem podstaw liczby.

Najczęstsze błędy

• Rozpoznawanie boków bez odniesienia do wskazanego kąta.
• Mylenie przeciwprostokątnej z bokiem przeciwległym.
• Odwracanie licznika i mianownika.
• Używanie tangensa z przeciwprostokątną.
• Wpisanie kalkulatora w trybie radianów zamiast stopni.
• Zaokrąglanie zbyt wcześnie.
• Brak jednostki przy długości.

Kontrola wyniku

• Przeciwprostokątna musi być najdłuższym bokiem.
• Sinus i cosinus kąta ostrego muszą należeć do przedziału od 0 do 1.
• Dla kąta 45° sinus i cosinus są równe.
• Im większy kąt ostry, tym większy sinus i tangens, a mniejszy cosinus.

Najczęstsze pytania