Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego opisują proporcje długości boków w trójkącie prostokątnym. Aby ich używać, najpierw wybieramy kąt, a potem rozpoznajemy boki względem tego właśnie kąta.
Co trzeba rozpoznać na rysunku?
Kąt prosty ma \(90^\circ\) i zwykle oznaczamy go małym kwadratem. Dwa boki tworzące ten kąt to przyprostokątne. Bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna; jest najdłuższy. Pozostałe dwa kąty są ostre, czyli większe od \(0^\circ\) i mniejsze od \(90^\circ\).
Wybierzmy kąt \(\alpha\), czytany „alfa”. Przyprostokątna naprzeciw niego nie dotyka jego wierzchołka. Przyprostokątna przy kącie tworzy jedno z jego ramion. Drugim ramieniem jest przeciwprostokątna, dlatego samo słowo „przyległy” trzeba doprecyzować.
Trzy ilorazy boków
\(a\) — przyprostokątna naprzeciw \(\alpha\), \(b\) — przyprostokątna przy \(\alpha\), \(c\) — przeciwprostokątna.
Sinus porównuje bok naprzeciw kąta z przeciwprostokątną. Cosinus porównuje przyprostokątną przy kącie z przeciwprostokątną. Tangens porównuje obie przyprostokątne, zawsze „naprzeciw przez przy”. Zapisy \(\tan\alpha\) i \(\operatorname{tg}\alpha\) oznaczają to samo.
Przykład krok po kroku
Na rysunku przyprostokątne mają długości \(3\) i \(4\), a przeciwprostokątna \(5\). Kąt \(\alpha\) leży naprzeciw boku \(3\).
- Dla sinusa wybierz bok naprzeciw kąta i przeciwprostokątną.\(\sin\alpha=\frac35\)
- Dla cosinusa wybierz przyprostokątną przy kącie i przeciwprostokątną.\(\cos\alpha=\frac45\)
- Dla tangensa podziel przyprostokątną naprzeciw kąta przez drugą przyprostokątną.\(\tan\alpha=\frac34\)
Wyniki nie mają jednostki: dzielimy długości zapisane w tej samej jednostce. Nie musimy znać miary kąta w stopniach, aby obliczyć te ilorazy.
Co zmienia wybór drugiego kąta?
Dla drugiego kąta ostrego, oznaczonego \(\beta\), bok \(4\) staje się przeciwległy, a bok \(3\) leży przy kącie. Dlatego \(\sin\beta=\frac45\), \(\cos\beta=\frac35\), \(\tan\beta=\frac43\). Przeciwprostokątna nadal ma długość \(5\).
Powiększenie wszystkich boków dwa razy daje trójkąt \(6,8,10\). Ilorazy pozostają takie same: \(\frac6{10}=\frac35\). Wartości funkcji zależą od kąta, a nie od rozmiaru podobnego trójkąta.
Typowy błąd
Kontrola bez dodatkowego liczenia
Dla kąta ostrego sinus i cosinus są dodatnie i mniejsze od jednego. Tangens jest dodatni, ale może przekraczać jeden. Zawsze wskaż na rysunku wybrany kąt, zaznacz przeciwprostokątną, a dopiero potem wybierz dwa boki potrzebne we wzorze.