Jedynka trygonometryczna

Wyobraź sobie trójkąt prostokątny jako namiot podparty dwiema linkami. Jedna linka symbolizuje sinus, druga cosinus, a razem zawsze utrzymują konstrukcję na poziomie dokładnie 1. Ta niezmienna równowaga to właśnie jedynka trygonometryczna.

Konkret: powrót do twierdzenia Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym oznaczmy przyprostokątne przez a i b, a przeciwprostokątną przez c. Z twierdzenia Pitagorasa:

a²+b²=c²

Dzielimy wszystkie składniki przez c²:

a²/c²+b²/c²=1

Ponieważ a/c i b/c są odpowiednio sinusem i cosinusem kąta ostrego, otrzymujemy:

sin² α+cos² α=1

Reprezentacja: co oznacza zapis z kwadratem?

• sin² α oznacza (sin α)².
• cos² α oznacza (cos α)².
• Nie wolno mylić sin² α z sin(α²).

Jedynka trygonometryczna mówi, że suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta zawsze wynosi 1.

Abstrakcja: przekształcenia wzoru

• cos² α=1-sin² α,
• sin² α=1-cos² α,
• dla kąta ostrego cos α=√(1-sin² α),
• dla kąta ostrego sin α=√(1-cos² α).

Dla kąta ostrego wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ sinus i cosinus są wtedy dodatnie.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-O-J: Kwadraty, Odejmij od jedynki, Jasny znak dodatni dla kąta ostrego. W pałacu pamięci ogromna cyfra 1 stoi na środku pokoju jak sejf. Z lewej wpada do niego kwadrat SIN, z prawej kwadrat COS. Gdy jeden z nich rośnie, drugi kurczy się jak nadmuchiwany balon, ale suma zawsze zatrzaskuje sejf na wartości 1.

Przykład krok po kroku: cosinus z sinusa

Dany jest kąt ostry α oraz sin α=8/17. Oblicz cos α.

• Krok 1: sin² α+cos² α=1.
• Krok 2: (8/17)²+cos² α=1.
• Krok 3: 64/289+cos² α=289/289.
• Krok 4: cos² α=225/289.
• Krok 5: cos α=15/17, ponieważ α jest kątem ostrym.

Przykład krok po kroku: sinus z cosinusa

Dany jest kąt ostry β oraz cos β=7/25. Oblicz sin β.

• Krok 1: sin² β=1-cos² β.
• Krok 2: sin² β=1-(7/25)².
• Krok 3: sin² β=625/625-49/625=576/625.
• Krok 4: sin β=24/25.

Przykład krok po kroku: obliczenie wyrażenia

Oblicz sin² 32°+cos² 32°.

• Krok 1: Rozpoznaj ten sam kąt w obu składnikach.
• Krok 2: Zastosuj jedynkę trygonometryczną.
• Krok 3: Wynik wynosi 1.

Przykład krok po kroku: równanie z niewiadomą

Wiadomo, że sin α=3/5 i α jest ostry. Oblicz 5cos α.

• Krok 1: cos² α=1-9/25=16/25.
• Krok 2: cos α=4/5.
• Krok 3: 5cos α=5·4/5=4.

Jak rozpoznać zadanie na jedynkę trygonometryczną?

• Podana jest wartość sinusa i trzeba znaleźć cosinus.
• Podana jest wartość cosinusa i trzeba znaleźć sinus.
• W wyrażeniu pojawia się sin² α+cos² α.
• Trzeba uprościć wyrażenie zawierające 1-sin² α lub 1-cos² α.

Najczęstsze błędy

• Zapisywanie sin α+cos α=1.
• Pomijanie kwadratu przy podstawianiu wartości.
• Obliczanie √(1-sin α) zamiast √(1-sin² α).
• Wybieranie ujemnego pierwiastka mimo informacji, że kąt jest ostry.
• Stosowanie wzoru do dwóch różnych kątów, np. sin² α+cos² β.
• Przedwczesne zaokrąglanie ułamków.

Kontrola wyniku

• Dla kąta ostrego sinus i cosinus muszą być dodatnie i nie większe od 1.
• Po podniesieniu otrzymanych wartości do kwadratu ich suma musi wynosić 1.
• Jeśli jedna wartość jest bliska 1, druga powinna być bliska 0.
• Ułamki takie jak 8/17 i 15/17 często tworzą trójki pitagorejskie, co ułatwia kontrolę.

Najczęstsze pytania