Jedynka trygonometryczna to równość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Pozwala obliczyć kwadrat jednej funkcji na podstawie drugiej oraz upraszczać wyrażenia. Kluczowe jest rozróżnienie wartości funkcji od jej kwadratu.
Co oznacza zapis z dwójką?
Zapis \(\sin^2\alpha\) jest skrótem \((\sin\alpha)^2\): najpierw ustalamy sinus kąta, potem mnożymy tę liczbę przez siebie. Na przykład jeśli \(\sin\alpha=\frac35\), to \(\sin^2\alpha=\frac9{25}\). Nie jest to \(\sin(2\alpha)\) ani \(\sin(\alpha^2)\).
Podobnie \(\cos^2\alpha=(\cos\alpha)^2\). W jedynce trygonometrycznej sumujemy właśnie te dwa kwadraty. Równość \(\sin\alpha+\cos\alpha=1\) nie jest ogólną zasadą.
Dlaczego suma wynosi jeden?
W trójkącie prostokątnym oznaczmy przyprostokątne przez \(a,b\), a przeciwprostokątną przez \(c\). Dla kąta naprzeciw \(a\) mamy \(\sin\alpha=\frac ac\) i \(\cos\alpha=\frac bc\). Zatem suma kwadratów wynosi \(\frac{a^2+b^2}{c^2}\). Twierdzenie Pitagorasa zastępuje licznik przez \(c^2\), więc iloraz wynosi \(1\).
Aby znaleźć sam cosinus, trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek i ustalić znak. Analogicznie \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\).
Tożsamość obowiązuje również dla kątów innych niż ostre. Jednak dodatni znak sinusa i cosinusa w kolejnych przykładach wynika z wyraźnego założenia, że kąt jest ostry.
Przykład obliczenia cosinusa
Wiemy, że \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\frac9{41}\).
- Podnieś cały ułamek do kwadratu, czyli osobno licznik i mianownik.\(\sin^2\alpha=\frac{81}{1681}\)
- Odejmij ten kwadrat od jedności ze wspólnym mianownikiem.\(\cos^2\alpha=\frac{1681}{1681}-\frac{81}{1681}=\frac{1600}{1681}\)
- Wybierz dodatni pierwiastek, bo kąt jest ostry.\(\cos\alpha=\frac{40}{41}\)
Kontrola: \(\frac{81}{1681}+\frac{1600}{1681}=1\). Nie musimy znać kąta w stopniach.
Gdy pytanie dotyczy kwadratu
Jeśli \(\sin^2\alpha=0{,}36\), to od razu \(\cos^2\alpha=1-0{,}36=0{,}64\). Na tym kończymy, jeśli pytano o kwadrat cosinusa. Jeżeli pytano o sam cosinus kąta ostrego, wykonujemy dodatkowy krok: \(\cos\alpha=\sqrt{0{,}64}=0{,}8\).
Jeśli nie znamy rodzaju kąta, równanie \(\cos^2\alpha=0{,}64\) pozwala na wartości \(0{,}8\) i \(-0{,}8\). Sam kwadrat nie wyznacza znaku.
Typowy błąd
Zastosowanie do uproszczeń
Wyrażenie \(3\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha\) ma wspólny czynnik \(3\). Wyłączamy go przed nawias: \(3(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=3\cdot1=3\). Zanim liczysz konkretne wartości funkcji, sprawdź, czy w wyrażeniu występuje cała jedynka trygonometryczna.