Obliczanie boków i kątów w trójkącie prostokątnym

Wyobraź sobie drabinę opartą o ścianę. Znasz jej długość i kąt nachylenia, ale chcesz ustalić, jak wysoko sięga oraz jak daleko stoi od ściany. To klasyczne zadanie na trójkąt prostokątny: jeden bok, jeden kąt i trzy funkcje trygonometryczne wystarczą, aby odtworzyć całą figurę.

Konkret: trzy boki i jeden kąt

W trójkącie prostokątnym względem kąta ostrego α wyróżniamy:

• przeciwprostokątną — najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego,
• przyprostokątną przeciwległą — leży naprzeciw kąta α,
• przyprostokątną przyległą — dotyka kąta α.

Najpierw zawsze ustal, który bok pełni którą rolę. Nazwy zależą od wybranego kąta ostrego.

Reprezentacja: trzy proporcje

• sin α=przeciwległa/przeciwprostokątna,
• cos α=przyległa/przeciwprostokątna,
• tg α=przeciwległa/przyległa.

Dobierasz funkcję, która zawiera bok znany i bok szukany. Dzięki temu nie wprowadzasz do równania niepotrzebnych niewiadomych.

Abstrakcja: schemat rozwiązywania

• Zaznacz kąt prosty.
• Wskaż przeciwprostokątną.
• Względem danego kąta nazwij bok przeciwległy i przyległy.
• Wybierz sinus, cosinus albo tangens.
• Ułóż równanie i oblicz niewiadomą.
• Na końcu sprawdź jednostkę i sens wyniku.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim R-O-L-A: Rozpoznaj boki, Oznacz dane, Licz właściwą funkcją, Analizuj wynik. W pałacu pamięci przeciwprostokątna jest wielką czerwoną zjeżdżalnią, bok przeciwległy skacze naprzeciw kąta jak sprężyna, a bok przyległy siedzi przy kącie na kanapie. Sinus łapie sprężynę i zjeżdżalnię, cosinus kanapę i zjeżdżalnię, a tangens sprężynę i kanapę.

Przykład krok po kroku: obliczanie boku z sinusa

Drabina ma długość 10 m i tworzy z podłożem kąt 30°. Jak wysoko sięga?

• Krok 1: Drabina jest przeciwprostokątną: 10 m.
• Krok 2: Szukana wysokość leży naprzeciw kąta 30°.
• Krok 3: Wybieramy sinus: sin 30°=h/10.
• Krok 4: 1/2=h/10.
• Krok 5: h=5 m.

Przykład krok po kroku: obliczanie boku z cosinusa

Przeciwprostokątna ma długość 12 cm, a kąt ostry wynosi 60°. Oblicz przyprostokątną przyległą.

• Krok 1: cos 60°=x/12.
• Krok 2: 1/2=x/12.
• Krok 3: x=6 cm.

Przykład krok po kroku: obliczanie boku z tangensa

W trójkącie prostokątnym kąt α ma 45°, a przyprostokątna przyległa ma 7 cm. Oblicz bok przeciwległy.

• Krok 1: tg 45°=x/7.
• Krok 2: 1=x/7.
• Krok 3: x=7 cm.

Przykład krok po kroku: obliczanie kąta

Przyprostokątna przeciwległa ma 6 cm, a przyległa 8 cm. Oblicz kąt α z dokładnością do 1°.

• Krok 1: tg α=6/8=0,75.
• Krok 2: α=arctg(0,75).
• Krok 3: Z kalkulatora α≈36,87°.
• Krok 4: Po zaokrągleniu α≈37°.

Przykład krok po kroku: wysokość budynku

Z punktu oddalonego o 20 m od budynku widać jego szczyt pod kątem 35°. Pomijając wysokość obserwatora, oblicz wysokość budynku.

• Krok 1: Bok przyległy ma 20 m, szukana wysokość jest przeciwległa.
• Krok 2: tg 35°=h/20.
• Krok 3: h=20·tg 35°.
• Krok 4: h≈20·0,7002≈14,0 m.

Jak dobrać funkcję?

• Masz przeciwległą i przeciwprostokątną — wybierz sinus.
• Masz przyległą i przeciwprostokątną — wybierz cosinus.
• Masz dwie przyprostokątne — wybierz tangens.

Obliczanie drugiego kąta ostrego

W trójkącie prostokątnym dwa kąty ostre sumują się do 90°. Jeżeli α=37°, to drugi kąt ma 90°-37°=53°.

Najczęstsze błędy

• Mylenie boku przeciwległego z przyległym.
• Traktowanie przyprostokątnej jako przeciwprostokątnej.
• Dobieranie funkcji zawierającej trzeci, nieznany bok.
• Wpisywanie kąta w radianach zamiast w stopniach w kalkulatorze.
• Zaokrąglanie wartości funkcji zbyt wcześnie.
• Brak jednostki przy wyniku długości.
• Nieodjęcie kąta od 90° przy obliczaniu drugiego kąta ostrego.

Kontrola wyniku

• Przeciwprostokątna musi być najdłuższym bokiem.
• Dla kąta 45° obie przyprostokątne powinny być równe.
• Im większy kąt, tym większy bok leżący naprzeciw niego.
• Wysokość lub odległość nie może być ujemna.
• Suma kątów w trójkącie musi wynosić 180°.

Najczęstsze pytania