Boki i kąty w trójkącie prostokątnym obliczamy, wybierając zależność łączącą dane z szukaną wielkością. Najpierw oznaczamy kąt prosty i wybrany kąt ostry. Dopiero potem decydujemy, czy użyć sinusa, cosinusa, tangensa, czy twierdzenia Pitagorasa.
Jak przygotować rysunek?
Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego. Przyprostokątną naprzeciw wybranego kąta \(\alpha\) oznaczmy przez \(a\), a drugą przez \(b\). Szukany bok zaznaczamy literą, na przykład \(x\). Rysunek nie musi mieć idealnej skali, ale musi pokazywać, które boki i kąty do siebie należą.
Na rysunku znamy przeciwprostokątną \(c=10\) oraz \(\alpha=30^\circ\). Bok \(a\) leży naprzeciw tego kąta, więc połączy go z przeciwprostokątną sinus.
Wybór funkcji bez zgadywania
| Potrzebne boki | Zależność |
|---|---|
| Naprzeciw kąta i przeciwprostokątna | \(\sin\alpha=\frac ac\) |
| Przyprostokątna przy kącie i przeciwprostokątna | \(\cos\alpha=\frac bc\) |
| Obie przyprostokątne | \(\tan\alpha=\frac ab\) |
Jeśli znamy dwa boki i szukamy trzeciego, często najprostsze jest \(a^2+b^2=c^2\). Jeśli znamy kąt i jeden bok, dobieramy funkcję tak, aby równanie zawierało tylko jedną niewiadomą.
Przykład: obliczenie boku
Obliczmy bok \(a\) naprzeciw kąta \(30^\circ\) przy przeciwprostokątnej \(10\).
- Zapisz definicję sinusa dla wybranego kąta.\(\sin30^\circ=\frac a{10}\)
- Wstaw dokładną wartość funkcji.\(\frac12=\frac a{10}\)
- Pomnóż obie strony przez dziesięć, aby usunąć mianownik po stronie niewiadomej.\(a=10\cdot\frac12=5\)
Drugą przyprostokątną możemy obliczyć z cosinusa: \(b=10\cos30^\circ=5\sqrt3\). Obie przyprostokątne są krótsze od przeciwprostokątnej, jak powinno być.
Gdy niewiadoma jest w mianowniku
Jeśli bok naprzeciw kąta \(30^\circ\) ma długość \(3\), a szukamy przeciwprostokątnej \(c\), zapisujemy \(\frac12=\frac3c\). Mnożymy obie strony przez dodatnie \(c\): \(\frac c2=3\). Następnie mnożymy przez \(2\), dostając \(c=6\).
Nie zawsze wystarczy pomnożyć dany bok przez funkcję. Kierunek przekształcenia wynika z położenia niewiadomej w równaniu.
Jak znaleźć miarę kąta?
Jeżeli przyprostokątne są równe, ich iloraz wynosi \(1\), więc \(\tan\alpha=1\) i \(\alpha=45^\circ\). Jeśli \(\sin\alpha=\frac12\) i kąt jest ostry, dostajemy \(\alpha=30^\circ\). Dla innych wartości korzystamy z tablic, odczytując kąt z dokładnością wynikającą z danych.
Drugi kąt ostry obliczamy z sumy \(90^\circ\). Gdy pierwszy ma \(38^\circ\), drugi wynosi \(90^\circ-38^\circ=52^\circ\). Cały trójkąt ma sumę kątów \(180^\circ\), z czego \(90^\circ\) zajmuje już kąt prosty.
Typowy błąd i kontrola
Na końcu dopisz jednostkę długości, sprawdź sumę kątów i porównaj wielkości boków. Gdy znasz wszystkie trzy długości, dodatkową kontrolę daje twierdzenie Pitagorasa.