Twierdzenie sinusów wiąże długości boków dowolnego trójkąta z sinusami kątów leżących naprzeciw tych boków. Przydaje się szczególnie wtedy, gdy znamy pełną parę bok–kąt naprzeciwko oraz jeszcze jeden bok lub kąt.
Jak poprawnie nazwać boki i kąty?
Przy wierzchołkach \(A,B,C\) zaznaczamy kąty \(\alpha,\beta,\gamma\). Bok \(a\) leży naprzeciw wierzchołka \(A\), czyli jest odcinkiem \(BC\). Analogicznie \(b=AC\) i \(c=AB\). Litera boku i litera odpowiadającego mu kąta oznaczają parę leżącą naprzeciwko siebie, a nie elementy stykające się.
Trójkąt nie musi być prostokątny. Każdy jego kąt jest dodatni, a suma kątów wynosi \(180^\circ\). Dla kąta rozwartego sinus nadal jest dodatni; na przykład \(\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\).
Wzór i wybór potrzebnych par
\(R\) — promień okręgu opisanego na trójkącie, czyli przechodzącego przez jego trzy wierzchołki.
Zwykle wystarczy równość dwóch ułamków. Aby znaleźć \(b\), wybierz parę z \(b\) i drugą w pełni znaną parę. Nie trzeba obliczać wszystkich pozostałych wielkości.
Przykład: szukanie boku
W trójkącie \(a=6\), \(\alpha=30^\circ\), \(\beta=45^\circ\). Obliczmy \(b\). Kąty są dopuszczalne, ponieważ trzeci wynosi \(180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\).
- Zapisz proporcję z dwiema właściwymi parami.\(\frac6{\sin30^\circ}=\frac b{\sin45^\circ}\)
- Pomnóż obie strony przez sinus czterdziestu pięciu stopni.\(b=\frac{6\sin45^\circ}{\sin30^\circ}\)
- Wstaw wartości szczególne i podziel przez ułamek.\(b=6\cdot\frac{\sqrt2}{2}:\frac12=6\sqrt2\)
Wynik jest większy od \(6\), co pasuje do większego kąta naprzeciw boku \(b\). Bok i kąt porównujemy parami w obrębie tego samego trójkąta.
Kiedy możliwe są dwa kąty?
Jeśli z obliczeń wynika \(\sin\beta=\frac12\), wewnątrz trójkąta kandydatami są \(30^\circ\) i \(150^\circ\). Sinus dwóch kątów sumujących się do \(180^\circ\) jest taki sam. Każdego kandydata sprawdzamy z pozostałymi danymi.
Gdy dodatkowo \(\alpha=45^\circ\), kąt \(150^\circ\) odpada, bo \(45^\circ+150^\circ=195^\circ\). Dla \(\alpha=20^\circ\) oba kąty mogą prowadzić do trójkąta, jeśli pozostałe dane są zgodne. Wynik sinusa większy od \(1\) oznacza, że danych nie da się zrealizować.
Typowy błąd
Jak sprawdzić wybór metody?
Zaznacz pary naprzeciwko i sprawdź, czy jedna jest znana w całości. Same trzy kąty określają kształt, ale nie wielkość trójkąta. Jeśli znasz dwa boki i kąt między nimi, a nie znasz pełnej pary, zwykle wygodniejsze będzie twierdzenie cosinusów. Dla promienia użyj \(R=\frac{a}{2\sin\alpha}\).