Twierdzenie sinusów

Wyobraź sobie trójkątny namiot, którego trzy liny są zaczepione pod różnymi kątami. Każdy bok ma swój kąt leżący dokładnie naprzeciw niego. Twierdzenie sinusów mówi, że wszystkie trzy pary bok–kąt zachowują ten sam rytm proporcji.

Konkret: pary naprzeciw siebie

W trójkącie ABC bok a leży naprzeciw kąta α, bok b naprzeciw kąta β, a bok c naprzeciw kąta γ.

• a ↔ α,
• b ↔ β,
• c ↔ γ.

Najważniejsze jest poprawne połączenie boku z kątem leżącym po przeciwnej stronie trójkąta.

Reprezentacja: jedna proporcja, trzy pary

Twierdzenie sinusów zapisujemy:

a/sin α=b/sin β=c/sin γ

Można też korzystać z odwróconej postaci:

sin α/a=sin β/b=sin γ/c

W zadaniu zwykle wybieramy tylko dwie potrzebne pary, np. a/sin α=b/sin β.

Abstrakcja: kiedy stosować twierdzenie sinusów?

• Gdy znasz bok i kąt leżący naprzeciw niego oraz jeszcze jeden bok.
• Gdy znasz dwa kąty i jeden bok.
• Gdy trzeba obliczyć brakujący bok lub kąt w trójkącie niekoniecznie prostokątnym.

Jeżeli nie masz ani jednej pełnej pary bok–kąt naprzeciw niego, twierdzenie sinusów zwykle nie jest pierwszym wyborem.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim N-P-R: Naprzeciw połącz, Proporcję ułóż, Rozwiąż równanie. W pałacu pamięci każdy bok siedzi na jednej kanapie, a jego kąt stoi dokładnie naprzeciw i strzela do niego promieniem SIN. Jeśli pomylisz parę, promień trafia w złą kanapę i cały trójkąt zaczyna wirować. Gdy pary są poprawne, trzy ułamki ustawiają się w idealnym szeregu.

Przykład krok po kroku: obliczanie boku

W trójkącie a=6 cm, α=30°, β=45°. Oblicz bok b.

• Krok 1: Łączymy pary a↔α oraz b↔β.
• Krok 2: a/sin α=b/sin β.
• Krok 3: 6/sin 30°=b/sin 45°.
• Krok 4: 6/(1/2)=b/(√2/2).
• Krok 5: b=6·(√2/2)/(1/2)=6√2 cm.

Przykład krok po kroku: obliczanie kąta

W trójkącie a=8 cm, b=4√3 cm i α=60°. Oblicz kąt β.

• Krok 1: a/sin α=b/sin β.
• Krok 2: 8/(√3/2)=4√3/sin β.
• Krok 3: sin β=(4√3·√3/2)/8=6/8=3/4.
• Krok 4: β=arcsin(3/4)≈48,6°.

Przykład krok po kroku: dwa kąty i jeden bok

W trójkącie α=40°, β=65° i a=10 cm. Oblicz bok b.

• Krok 1: a/sin α=b/sin β.
• Krok 2: 10/sin 40°=b/sin 65°.
• Krok 3: b=10·sin 65°/sin 40°.
• Krok 4: b≈10·0,9063/0,6428≈14,1 cm.

Przykład krok po kroku: najpierw trzeci kąt

W trójkącie α=50°, β=70° i c=12 cm. Oblicz bok a.

• Krok 1: γ=180°-50°-70°=60°.
• Krok 2: a/sin 50°=12/sin 60°.
• Krok 3: a=12·sin 50°/sin 60°.
• Krok 4: a≈10,6 cm.

Ważna zależność logiczna

Większemu kątowi odpowiada dłuższy bok. Jeżeli β>α, to bok b powinien być dłuższy od boku a. To świetny sposób na szybkie sprawdzenie wyniku.

Przypadek niejednoznaczny

Przy wyznaczaniu kąta z wartości sinusa może istnieć drugi kąt o tym samym sinusie: β oraz 180°-β. Na poziomie podstawowym zawsze sprawdź, czy suma kątów trójkąta i podane długości dopuszczają drugie rozwiązanie.

Najczęstsze błędy

• Łączenie boku z kątem przyległym zamiast leżącym naprzeciw.
• Wstawianie do jednej proporcji trzech niepotrzebnych par.
• Odwrócenie tylko jednego ułamka.
• Użycie złego trybu kalkulatora zamiast stopni.
• Zaokrąglanie sinusów przed końcem obliczeń.
• Brak sprawdzenia, czy większy kąt leży naprzeciw większego boku.
• Zapomnienie o obliczeniu trzeciego kąta z sumy 180°.

Kontrola wyniku

• Sprawdź pary bok–kąt naprzeciw siebie.
• Suma kątów musi wynosić 180°.
• Największy bok powinien leżeć naprzeciw największego kąta.
• Długości muszą być dodatnie.
• Jeżeli wynik jest przybliżony, podaj żądaną dokładność i jednostkę.

Najczęstsze pytania