Twierdzenie cosinusów

Wyobraź sobie, że mierzysz dwie ścieżki wychodzące z jednego miejsca pod kątem α i chcesz poznać odległość między ich końcami. Nie masz kąta prostego, więc klasyczne twierdzenie Pitagorasa nie wystarczy. Twierdzenie cosinusów dodaje do niego korektę zależną od kąta.

Konkret: dwa boki i kąt między nimi

W trójkącie ABC bok a leży naprzeciw kąta α, bok b naprzeciw β, a bok c naprzeciw γ. Jeśli szukasz boku a, potrzebujesz boków b i c oraz kąta α leżącego między nimi.

Reprezentacja: Pitagoras z poprawką

a²=b²+c²-2bc·cos α

Analogicznie:

• b²=a²+c²-2ac·cos β,
• c²=a²+b²-2ab·cos γ.

Gdy α=90°, cos 90°=0, więc wzór zmienia się w a²=b²+c². To dokładnie twierdzenie Pitagorasa.

Abstrakcja: kiedy używać?

• Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi, a szukasz trzeciego boku.
• Gdy znasz wszystkie trzy boki i chcesz obliczyć jeden z kątów.
• Gdy trójkąt nie jest prostokątny i nie masz pełnej pary bok–kąt do twierdzenia sinusów.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-D-O-P: Kwadraty dwóch boków dodaj, Dwa razy ich iloczyn odejmij, Oznacz cosinus kąta między nimi, Pierwiastek wyciągnij. W pałacu pamięci dwa ogromne kwadratowe dywany b² i c² wpadają do pokoju, a gigantyczny robot 2bc·cos α odcina od ich sumy kawałek nożycami. Na końcu z sufitu spada znak pierwiastka i zgniata wynik do długości boku a.

Przykład krok po kroku: obliczanie boku

W trójkącie b=5 cm, c=7 cm i α=60°. Oblicz bok a.

• Krok 1: a²=b²+c²-2bc·cos α.
• Krok 2: a²=5²+7²-2·5·7·cos 60°.
• Krok 3: a²=25+49-70·1/2=74-35=39.
• Krok 4: a=√39 cm≈6,24 cm.

Przykład krok po kroku: kąt z trzech boków

W trójkącie a=5 cm, b=6 cm, c=7 cm. Oblicz kąt α.

• Krok 1: a²=b²+c²-2bc·cos α.
• Krok 2: 25=36+49-84·cos α.
• Krok 3: 84·cos α=60.
• Krok 4: cos α=60/84=5/7.
• Krok 5: α=arccos(5/7)≈44,4°.

Przykład krok po kroku: rozpoznanie kąta prostego

Sprawdź kąt naprzeciw boku 10 w trójkącie o bokach 6, 8 i 10.

• Krok 1: 10²=6²+8²-2·6·8·cos γ.
• Krok 2: 100=36+64-96·cos γ.
• Krok 3: 100=100-96·cos γ, więc cos γ=0.
• Krok 4: γ=90°.

Znaczenie znaku cosinusa

• Dla kąta ostrego cos α>0, więc odejmujemy dodatnią wartość.
• Dla kąta prostego cos α=0, więc zostaje wzór Pitagorasa.
• Dla kąta rozwartego cos α<0, więc odjęcie liczby ujemnej zwiększa wynik.

Dlatego bok naprzeciw kąta rozwartego jest zwykle wyraźnie dłuższy.

Jak przekształcić wzór do obliczania kąta?

Z równania a²=b²+c²-2bc·cos α otrzymujemy:

cos α=(b²+c²-a²)/(2bc)

Następnie używamy funkcji odwrotnej: α=arccos(...).

Najczęstsze błędy

• Wstawienie kąta, który nie leży naprzeciw szukanego boku.
• Użycie boków niewyznaczających danego kąta.
• Pominięcie minusa przed składnikiem 2bc·cos α.
• Zapomnienie o współczynniku 2.
• Wyciąganie pierwiastka przed zakończeniem obliczeń.
• Nieprawidłowe przekształcenie wzoru na cosinus kąta.
• Tryb radianowy zamiast stopni w kalkulatorze.
• Zbyt wczesne zaokrąglanie wyniku pośredniego.

Kontrola wyniku

• Każdy bok musi być dodatni.
• Najdłuższy bok powinien leżeć naprzeciw największego kąta.
• Suma dwóch boków musi być większa od trzeciego.
• Dla kąta 90° wzór powinien przejść w twierdzenie Pitagorasa.
• Wartość cosinusa obliczonego z boków musi należeć do przedziału od -1 do 1.

Najczęstsze pytania