Twierdzenie cosinusów pozwala obliczyć trzeci bok trójkąta, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi. Po przekształceniu pozwala też obliczyć cosinus kąta na podstawie trzech boków. Działa w każdym zwykłym trójkącie, nie tylko prostokątnym.
Jak rozpoznać właściwy kąt?
Załóżmy, że znane boki to \(a\) i \(b\). Ich wspólny wierzchołek wyznacza kąt między nimi, oznaczony \(\gamma\). Naprzeciw tego kąta leży trzeci bok \(c\). To właśnie jego kwadrat znajdzie się po lewej stronie wzoru.
Nie wybieramy dowolnego znanego kąta. Jeśli znamy inny kąt niż kąt między danymi bokami, trzeba inaczej dobrać metodę albo najpierw uzupełnić brakujące dane.
Wzór i związek z Pitagorasem
\(a,b\) — boki tworzące kąt \(\gamma\), \(c\) — bok naprzeciw tego kąta. Wzór daje najpierw kwadrat długości.
Dla \(\gamma=90^\circ\) mamy \(\cos90^\circ=0\), więc ostatni składnik znika i pozostaje \(c^2=a^2+b^2\). Twierdzenie Pitagorasa jest zatem szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów.
Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni, więc od sumy kwadratów coś odejmujemy. Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, więc odejmowanie ujemnego składnika powiększa wynik. Na przykład \(\cos120^\circ=-\frac12\).
Przykład: trzeci bok
Dwa boki trójkąta mają długości \(6\) i \(8\), a kąt między nimi wynosi \(60^\circ\).
- Wybierz bok naprzeciw danego kąta jako niewiadomą i podstaw dane.\(c^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cos60^\circ\)
- Wstaw cosinus i wykonaj najpierw potęgowanie oraz mnożenie.\(c^2=36+64-96\cdot\frac12=52\)
- Długość jest dodatnia. Wyciągnij pierwiastek i uprość go.\(c=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)
Wynik leży między \(2\) i \(14\), czyli między różnicą i sumą danych boków. To potrzebny warunek istnienia trójkąta.
Przykład: kąt na podstawie trzech boków
Dla boków \(7,8,9\) szukamy cosinusa kąta naprzeciw boku \(9\). Przekształcamy wzór do postaci \(\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\). Po podstawieniu \(\cos\gamma=\frac{49+64-81}{112}=\frac{32}{112}=\frac27\).
Cosinus jest dodatni, więc kąt jest ostry. Sama wartość \(\frac27\) nie jest miarą kąta w stopniach. Jeśli zadanie wymaga kąta, odczytujemy go w tablicach z podaną dokładnością lub używamy dozwolonego narzędzia.
Typowy błąd: koniec na kwadracie
Jak sprawdzić sens danych?
Trzy dodatnie długości tworzą trójkąt tylko wtedy, gdy największa jest mniejsza od sumy pozostałych. Kąt między bokami musi być większy od \(0^\circ\) i mniejszy od \(180^\circ\). Wynik cosinusa poza przedziałem od \(-1\) do \(1\) wskazuje na błąd rachunkowy lub niemożliwe dane. Sprawdzaj też, czy użyty kąt rzeczywiście leży naprzeciw obliczanego boku.