Pole trójkąta z wykorzystaniem sinusa

Wyobraź sobie trójkątny żagiel. Znasz długości dwóch jego krawędzi oraz kąt między nimi, ale wysokość nie jest zaznaczona. Zamiast ją konstruować, możesz użyć sinusa, który wydobywa z jednego boku dokładnie tę część, która pełni rolę wysokości.

Konkret: bok staje się wysokością

Jeśli wybierzesz bok a jako podstawę, to wysokość opuszczona na ten bok można zapisać jako h=b·sin γ, gdzie γ jest kątem między bokami a i b.

Po podstawieniu do wzoru P=1/2·a·h otrzymujemy:

P=1/2·a·b·sin γ

Reprezentacja: trzy równoważne wzory

• P=1/2·a·b·sin γ,
• P=1/2·b·c·sin α,
• P=1/2·c·a·sin β.

Zawsze wybierasz dwa boki i sinus kąta zawartego między nimi.

Abstrakcja: kiedy ten wzór działa najlepiej?

• Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi.
• Gdy wysokość trójkąta nie jest podana.
• Gdy trójkąt nie jest prostokątny.
• Gdy chcesz porównać pola trójkątów o tych samych bokach, ale różnych kątach.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-K-P: Dwa boki, Kąt między nimi, Połowa iloczynu z sinusem. W pałacu pamięci dwa gigantyczne boki a i b spotykają się jak ramiona robota, a między nimi siedzi kąt γ. Sinus wyciąga z jednego ramienia pionową sprężynę-wysokość, po czym wielka siekiera dzieli cały iloczyn na pół.

Przykład krok po kroku: dokładny wynik

Oblicz pole trójkąta, w którym a=8 cm, b=6 cm i γ=30°.

• Krok 1: Wybieramy wzór P=1/2·a·b·sin γ.
• Krok 2: P=1/2·8·6·sin 30°.
• Krok 3: sin 30°=1/2.
• Krok 4: P=1/2·48·1/2=12 cm².

Przykład krok po kroku: wynik przybliżony

Dwa boki trójkąta mają długości 10 m i 13 m, a kąt między nimi wynosi 47°. Oblicz pole.

• Krok 1: P=1/2·10·13·sin 47°.
• Krok 2: P=65·sin 47°.
• Krok 3: sin 47°≈0,7314.
• Krok 4: P≈65·0,7314≈47,54 m².

Przykład krok po kroku: obliczanie kąta z pola

Pole trójkąta wynosi 24 cm², a dwa boki mają długości 8 cm i 10 cm. Oblicz sinus kąta między nimi.

• Krok 1: 24=1/2·8·10·sin γ.
• Krok 2: 24=40·sin γ.
• Krok 3: sin γ=24/40=3/5.

Jeżeli trzeba wyznaczyć sam kąt, używamy γ=arcsin(3/5), pamiętając, że w pewnych zadaniach może istnieć także kąt 180°-γ.

Dlaczego kąt musi być między bokami?

Sinus zamienia jeden z boków w wysokość względem drugiego. To działa tylko wtedy, gdy użyty kąt jest kątem zawartym między tymi bokami. Jeżeli wybierzesz niewłaściwy kąt, otrzymasz wysokość względem innej podstawy.

Jak zmienia się pole przy stałych bokach?

Dla ustalonych boków a i b pole zależy od sin γ. Największe pole otrzymujemy dla γ=90°, ponieważ sin 90°=1.

• Dla małego kąta pole jest małe.
• Dla kąta prostego pole jest największe.
• Dla kąta 30° i 150° sinus ma tę samą wartość, więc pola są równe.

Związek z klasycznym wzorem

Gdy γ=90°, wzór przyjmuje postać P=1/2·a·b. Oznacza to, że dla trójkąta prostokątnego dwa prostopadłe boki są podstawą i wysokością.

Najczęstsze błędy

• Użycie kąta, który nie leży między wybranymi bokami.
• Pominięcie współczynnika 1/2.
• Wpisanie cosinusa zamiast sinusa.
• Brak kwadratowej jednostki pola.
• Tryb radianowy zamiast stopni w kalkulatorze.
• Zbyt wczesne zaokrąglenie wartości sinusa.
• Mylenie pola z obwodem.

Kontrola wyniku

• Pole musi być dodatnie.
• Jednostka pola musi być kwadratowa.
• Pole nie może przekroczyć 1/2·a·b, bo sin γ≤1.
• Dla kąta 90° wynik powinien być równy połowie iloczynu boków.
• Dla bardzo małego kąta pole powinno być niewielkie.

Najczęstsze pytania