Pole dowolnego trójkąta można obliczyć, znając dwa boki i kąt zawarty między nimi. Wzór \(P=\frac{ab\sin\gamma}{2}\) zastępuje wysokość jej wyrażeniem trygonometrycznym.
Pojęcia, od których zaczynamy
Pole opisuje powierzchnię zajmowaną przez figurę. Zwykły wzór to \(P=\frac{ah}{2}\), gdzie \(a\) jest wybraną podstawą, a \(h\) wysokością opuszczoną na tę podstawę. Wysokość biegnie od przeciwległego wierzchołka prostopadle do prostej podstawy. Ukośny bok nie jest automatycznie wysokością.
Jeżeli znamy boki \(a,b\), znajdź ich wspólny wierzchołek. Kąt przy nim, oznaczony \(\gamma\), jest kątem zawartym między tymi bokami. W pomocniczym trójkącie prostokątnym mamy \(\sin\gamma=\frac hb\). Po pomnożeniu przez \(b\) otrzymujemy \(h=b\sin\gamma\), co tłumaczy pojawienie się sinusa we wzorze na pole.
Zasady i wzory
Jeżeli boki \(a\) i \(b\) tworzą kąt \(\gamma\) wysokość opuszczona na bok \(a\) ma długość \(b\sin\gamma\). Stąd wzór na pole.
- Użyj kąta zawartego między wybranymi bokami.
- Pamiętaj o współczynniku \(\frac{1}{2}\).
- Zapisz jednostkę pola jako kwadratową.
- Dla kąta \(90^\circ\) wzór przechodzi w połowę iloczynu przyprostokątnych.
Kąt \(\gamma\) musi leżeć między bokami \(a\) i \(b\).
Jak czytać rysunek?
Przerywany odcinek jest wysokością. Kwadracik przy podstawie oznacza kąt prosty. Bok \(b\) jest przeciwprostokątną w pomocniczym trójkącie, a wysokość leży naprzeciw \(\gamma\). Jeśli kąt między podanymi bokami jest rozwarty, wysokość może wypaść poza trójkątem, na przedłużeniu podstawy. Wzór nadal działa, ponieważ \(\sin\gamma=\sin(180^\circ-\gamma)\).
Przykład krok po kroku
Boki trójkąta mają długości 8 cm i 5 cm, a kąt między nimi \(30^\circ\). Oblicz pole.
Który kąt wstawić do wzoru na pole? Musi to być kąt zawarty między dwiema użytymi długościami. Wzór \(P=\frac{ab\sin\gamma}{2}\) powstaje z \(P=\frac{ah}{2}\), gdy wysokość zapisujemy jako \(h=b\sin\gamma\). Dzięki temu nie musimy wcześniej liczyć wysokości osobno.
- Zapisz wzór.\(P=\frac12\cdot8\cdot5\sin30^\circ\)
- Podstaw sinus.\(P=20\cdot\frac12\)
- Podaj wynik z jednostką.\(P=10\text{ cm}^2\)
Typowy błąd
Nie wolno użyć sinusa kąta, który nie jest zawarty między dwoma podstawionymi bokami.
Dodatkowy przykład i kontrola
Przy ustalonych bokach największe pole wynosi \(\frac{ab}{2}\), bo sinus nie przekracza jedności. Otrzymujemy je dla kąta prostego. Dla boków \(8\) i \(5\) jest to \(20\); wynik większy od \(20\) byłby niemożliwy.
Jeśli szukasz kąta, najpierw wyznacz jego sinus. Z \(\sin\gamma=\frac12\) wynikają dwie możliwości wewnątrz trójkąta: \(30^\circ\) i \(150^\circ\). Nie wybieraj jednej bez dodatkowego warunku. Podawaj jednostkę kwadratową i używaj boków w tej samej jednostce.