Rozwiązywanie trójkąta polega na wyznaczeniu wszystkich brakujących boków i kątów. Wybór metody zależy od danych: pełna para bok–kąt sprzyja twierdzeniu sinusów, a układ dwóch boków z kątem między nimi lub trzech boków — twierdzeniu cosinusów.
Pojęcia, od których zaczynamy
Rozwiązanie trójkąta to znalezienie trzech boków i trzech kątów. Zanim zaczniesz liczyć, zapisz dane na szkicu. Litera \(a\) zwykle oznacza bok naprzeciw kąta \(\alpha\), \(b\) naprzeciw \(\beta\), a \(c\) naprzeciw \(\gamma\). Pełna para bok–kąt oznacza znajomość długości boku i kąta po przeciwnej stronie trójkąta.
Dwa znane kąty pozwalają obliczyć trzeci przez odjęcie od \(180^\circ\). Same trzy kąty określają jednak tylko kształt, nie wielkość. Trójkąt można powiększyć bez zmiany kątów. Do wyznaczenia długości potrzebny jest choć jeden bok lub inna informacja ustalająca rozmiar.
Zasady i wzory
Najpierw obliczamy brakujący kąt z sumy \(180^\circ\), jeśli to możliwe. Następnie wybieramy twierdzenie dające jedną niewiadomą i po każdym kroku wykorzystujemy nowe dane.
- Zrób rysunek i oznacz dane.
- Uzupełnij trzeci kąt, jeśli znasz dwa.
- Wybierz twierdzenie z jedną niewiadomą.
- Sprawdź sumę kątów i relację: większy kąt — dłuższy bok.
Do tej zależności dobieramy twierdzenie sinusów lub cosinusów zależnie od danych.
Jak czytać rysunek?
Najpierw dopasuj każdą literę boku do kąta naprzeciw niego. Przy dwóch kątach i boku wybierz twierdzenie sinusów: \(\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}\). Przy dwóch bokach i kącie między nimi wybierz twierdzenie cosinusów: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\). Gdy znasz trzy boki, przekształć je do postaci \(\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\).
Przykład krok po kroku
Dane są \(a=6\), \(\alpha=30^\circ\), \(\beta=60^\circ\). Bok \(a\) leży naprzeciw kąta \(\alpha\). Oblicz pozostały kąt i boki.
- Odejmij znane kąty od sumy kątów trójkąta.\(\gamma=180^\circ-30^\circ-60^\circ=90^\circ\)
- Zapisz twierdzenie sinusów dla znanej pary i szukanego boku.\(\frac{b}{\sin60^\circ}=\frac6{\sin30^\circ}\)
- Pomnóż przez sinus 60 stopni i podstaw wartości. Dzielenie przez połowę to mnożenie przez dwa.\(b=6\cdot\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12}=6\sqrt3\)
- Oblicz bok naprzeciw kąta prostego. Sinus kąta prostego wynosi jeden.\(c=6\cdot\frac{1}{\frac12}=12\)
Kontrola: \(6^2+(6\sqrt3)^2=36+108=144=12^2\). Największy bok leży naprzeciw największego kąta.
Typowy błąd
Zaokrąglanie wartości pośrednich może wyraźnie pogorszyć wynik końcowy.
Dodatkowy przykład i kontrola
Sprawdź sumę kątów, dodatniość boków i nierówność trójkąta. Największy kąt musi leżeć naprzeciw najdłuższego boku. Jeżeli pytano o cały trójkąt, wypisz wszystkie trzy kąty i trzy długości.
Dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich mogą prowadzić do dwóch rozwiązań. Gdy otrzymasz sinus kąta, sprawdź także kąt dopełniający go do \(180^\circ\). Na przykład dla \(\alpha=45^\circ\) i \(\sin\beta=\frac12\) kandydat \(150^\circ\) odpada, ponieważ suma dwóch kątów przekroczyłaby \(180^\circ\). Zostaje \(\beta=30^\circ\).