Rozwiązywanie trójkątów

Wyobraź sobie ekipę geodetów, która zna tylko fragmenty informacji o trójkątnej działce: dwa boki, jeden kąt albo trzy boki. Ich zadaniem jest odtworzyć cały trójkąt. W matematyce taki proces nazywamy rozwiązywaniem trójkąta.

Konkret: kompletowanie brakujących danych

Rozwiązać trójkąt oznacza obliczyć wszystkie jego boki i kąty. Trójkąt ma sześć podstawowych elementów: trzy boki a, b, c oraz trzy kąty α, β, γ.

Nie każda informacja wystarczy. Na przykład znajomość tylko trzech kątów określa kształt, ale nie rozmiar trójkąta.

Reprezentacja: skrzynka narzędzi

• Suma kątów: α+β+γ=180°.
• Twierdzenie sinusów: a/sin α=b/sin β=c/sin γ.
• Twierdzenie cosinusów: a²=b²+c²-2bc·cos α.
• Pole: P=1/2·a·b·sin γ.
• Twierdzenie Pitagorasa: dla trójkąta prostokątnego a²+b²=c².

Abstrakcja: rozpoznaj typ danych

• BKB: dwa boki i kąt między nimi — zacznij od twierdzenia cosinusów.
• KBK: bok i dwa kąty — najpierw suma kątów, potem twierdzenie sinusów.
• BBK: dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich — zwykle twierdzenie sinusów; sprawdź możliwość dwóch rozwiązań.
• BBB: trzy boki — zacznij od twierdzenia cosinusów.
• Trójkąt prostokątny: używaj Pitagorasa oraz sinusa, cosinusa i tangensa.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim D-W-S: Dane rozpoznaj, Wzór wybierz, Sprawdź wynik. W pałacu pamięci przy drzwiach stoi detektyw i ogląda dane, na stole leżą cztery narzędzia: sinus, cosinus, suma 180° i Pitagoras, a na końcu pokoju olbrzymi strażnik sprawdza, czy kąty sumują się do 180° i czy najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta.

Przykład krok po kroku: bok i dwa kąty

W trójkącie a=8 cm, α=40° i β=65°. Oblicz γ oraz bok b.

• Krok 1: γ=180°-40°-65°=75°.
• Krok 2: Stosujemy a/sin α=b/sin β.
• Krok 3: b=8·sin 65°/sin 40°.
• Krok 4: b≈8·0,9063/0,6428≈11,28 cm.

Przykład krok po kroku: dwa boki i kąt między nimi

Dane: b=7 cm, c=9 cm, α=60°. Oblicz bok a.

• Krok 1: a²=7²+9²-2·7·9·cos 60°.
• Krok 2: a²=49+81-126·1/2=130-63=67.
• Krok 3: a=√67≈8,19 cm.

Przykład krok po kroku: trzy boki

Dane: a=5 cm, b=6 cm, c=7 cm. Oblicz kąt α.

• Krok 1: cos α=(b²+c²-a²)/(2bc).
• Krok 2: cos α=(36+49-25)/(2·6·7)=60/84=5/7.
• Krok 3: α=arccos(5/7)≈44,4°.

Przypadek niejednoznaczny

Gdy znasz dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich, równanie sin β=k może prowadzić do dwóch kątów: β oraz 180°-β. Trzeba sprawdzić, czy oba wraz z pozostałym kątem dają sumę mniejszą niż 180°. Czasem istnieją dwa trójkąty, jeden albo żaden.

Algorytm rozwiązywania trójkąta

• 1. Zapisz dane i zaznacz, co leży naprzeciw czego.
• 2. Oblicz brakujący kąt z sumy 180°, jeśli to możliwe.
• 3. Wybierz twierdzenie sinusów, cosinusów albo Pitagorasa.
• 4. Oblicz brakujący element.
• 5. Powtarzaj, aż poznasz wszystkie boki i kąty.
• 6. Sprawdź sens wyniku.

Najczęstsze błędy

• Łączenie boku z kątem, który nie leży naprzeciw niego.
• Użycie twierdzenia sinusów bez pełnej pary bok–kąt.
• Użycie twierdzenia cosinusów z niewłaściwym kątem.
• Pominięcie drugiego możliwego kąta przy arcsin.
• Tryb radianowy zamiast stopni.
• Zbyt wczesne zaokrąglanie.
• Brak kontroli sumy kątów i nierówności trójkąta.

Kontrola wyniku

• α+β+γ=180°.
• Największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku.
• Suma dwóch boków jest większa od trzeciego.
• Wszystkie boki są dodatnie.
• Wyniki przybliżone warto sprawdzić drugim wzorem.

Najczęstsze pytania