W zadaniach praktycznych trygonometria zamienia kąt i mierzalną odległość na wysokość lub inną niedostępną długość. Najważniejsze jest poprawne narysowanie trójkąta i wskazanie, co oznaczają jego boki.
Pojęcia, od których zaczynamy
Zadanie praktyczne najpierw zamieniamy na rysunek. Pionowy obiekt i poziomy teren tworzą kąt prosty. Odcinek ukośny, na przykład linia wzroku lub drabina, jest wtedy przeciwprostokątną. Nie wolno traktować go jak odległości poziomej.
Kąt wzniesienia mierzymy od poziomu do kierunku patrzenia w górę. Kąt obniżenia mierzymy od poziomu w dół. Litera \(d\) oznacza odległość poziomą, a \(h\) różnicę wysokości. Z definicji tangensa \(\tan\alpha=\frac hd\), więc \(h=d\tan\alpha\). Jeśli znana jest długość ukośna \(l\), korzystamy zamiast tego z \(h=l\sin\alpha\) oraz \(d=l\cos\alpha\).
Zasady i wzory
Jeśli obserwator stoi w odległości poziomej \(d\) od obiektu i widzi jego szczyt pod kątem \(\alpha\) względem poziomu, różnica wysokości wynosi \(h=d\tan\alpha\).
- Rozdziel wysokość obiektu od wysokości oczu lub przyrządu.
- Ustal, czy podana odległość jest pozioma.
- W kalkulatorze użyj stopni.
- Zaokrąglaj zgodnie z dokładnością danych i podaj jednostkę.
Jeśli pomiar wykonano z wysokości \(h_0\), całkowita wysokość obiektu może wynosić \(H=h+h_0\).
Jak czytać rysunek?
Linia pozioma biegnie przez przyrząd, nie przez jego podstawę. Wynik z tangensa opisuje część obiektu powyżej przyrządu. Jeśli przyrząd jest \(h_0\) nad ziemią, a obiekt stoi na tym samym poziomym terenie, pełna wysokość wynosi \(H=h+h_0\). Dla różnicy \(12\) m i wysokości przyrządu \(1{,}5\) m otrzymujemy \(H=13{,}5\) m.
Przykład krok po kroku
Z odległości poziomej 40 m kąt wzniesienia do szczytu wynosi \(35^\circ\). Obserwator i podstawa obiektu są na tym samym poziomie gruntu. Przyjmij \(\tan35^\circ\approx0{,}7002\).
Co musi pokazywać szkic? Odległość pozioma i szukana różnica wysokości są przyprostokątnymi, a linia obserwacji przeciwprostokątną. Tangens łączy obie przyprostokątne. Jeśli kąt mierzono z poziomu oczu, wynik opisuje wysokość ponad oczami; do pełnej wysokości obiektu trzeba dodać wysokość obserwatora podaną w zadaniu.
- Zapisz tangens.\(\tan35^\circ=\frac h{40}\)
- Wyznacz wysokość.\(h=40\tan35^\circ\)
- Oblicz przybliżenie.\(h\approx28{,}0\text{ m}\)
Typowy błąd
Jeśli przyrząd znajduje się nad ziemią, wynik z tangensa jest tylko różnicą wysokości.
Dodatkowy przykład i kontrola
Sprawdź, od jakiej linii zmierzono kąt i czy odległość jest pozioma. Drabina długości \(10\) m ustawiona pod kątem \(60^\circ\) do poziomu sięga na \(10\sin60^\circ=5\sqrt3\) m. Jej dolny koniec jest \(10\cos60^\circ=5\) m od ściany.
Nachylenie procentowe w szkolnym modelu to \(\frac hd\cdot100\%\). Wzrost o \(5\) m na \(20\) m poziomo daje \(25\%\), a nie kąt \(25^\circ\). Przybliżenia zapisuj ze znakiem \(\approx\); korzystaj z wartości funkcji podanej w zadaniu albo z tablic.