Trygonometria w zadaniach praktycznych

Wyobraź sobie, że stoisz przed wysokim masztem i nie masz drabiny ani bardzo długiej miarki. Możesz jednak zmierzyć odległość od masztu i kąt, pod którym widzisz jego szczyt. Te dwie informacje tworzą trójkąt prostokątny, a trygonometria pozwala obliczyć brakującą wysokość.

Konkret: znajdź trójkąt w sytuacji

W zadaniu praktycznym najpierw trzeba rozpoznać:

• odcinek poziomy, np. odległość od budynku,
• odcinek pionowy, np. wysokość drzewa,
• linię obserwacji lub nachyloną drogę, czyli przeciwprostokątną,
• kąt nachylenia albo kąt wzniesienia.

Następnie dobieramy funkcję, która łączy znane i szukane boki.

Reprezentacja: trzy podstawowe narzędzia

• sin α=przyprostokątna naprzeciw kąta/przeciwprostokątna,
• cos α=przyprostokątna przy kącie/przeciwprostokątna,
• tg α=przyprostokątna naprzeciw kąta/przyprostokątna przy kącie.

Jeżeli znasz odległość poziomą i szukasz wysokości, najczęściej wygodny jest tangens.

Abstrakcja: schemat zadania praktycznego

• 1. Narysuj uproszczony rysunek.
• 2. Zaznacz kąt prosty.
• 3. Podpisz dane i niewiadomą.
• 4. Nazwij boki względem kąta.
• 5. Wybierz sin, cos albo tg.
• 6. Rozwiąż równanie i dopisz jednostkę.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim R-B-W-L: Rysunek, Boki nazwij, Wzór wybierz, Licz i sprawdź. W pałacu pamięci na podłodze pojawia się gigantyczny trójkąt. Sinus skacze na bok naprzeciw kąta, cosinus przytula bok przy kącie, a tangens rozciąga pionową wieżę nad poziomą drogą. Ty stoisz w środku i wybierasz tego bohatera, który dotyka obu potrzebnych boków.

Przykład krok po kroku: wysokość drzewa

Obserwator stoi 12 m od drzewa. Kąt wzniesienia do wierzchołka wynosi 35°. Oczy obserwatora znajdują się 1,7 m nad ziemią. Oblicz wysokość drzewa.

• Krok 1: Szukana wysokość ponad poziomem oczu jest bokiem naprzeciw kąta.
• Krok 2: Odległość 12 m jest bokiem przy kącie.
• Krok 3: tg 35°=h/12.
• Krok 4: h=12·tg 35°≈12·0,7002≈8,40 m.
• Krok 5: Dodajemy wysokość oczu: 8,40+1,70=10,10 m.

Przykład krok po kroku: długość rampy

Rampa wznosi się na wysokość 0,9 m pod kątem 12° do podłoża. Oblicz jej długość.

• Krok 1: Wysokość 0,9 m leży naprzeciw kąta.
• Krok 2: Długość rampy jest przeciwprostokątną.
• Krok 3: sin 12°=0,9/l.
• Krok 4: l=0,9/sin 12°≈0,9/0,2079≈4,33 m.

Przykład krok po kroku: nachylenie dachu

Połać dachu ma długość 5 m i tworzy z poziomem kąt 30°. Oblicz wysokość dachu od okapu do kalenicy.

• Krok 1: Połać 5 m jest przeciwprostokątną.
• Krok 2: Wysokość leży naprzeciw kąta.
• Krok 3: sin 30°=h/5.
• Krok 4: h=5·1/2=2,5 m.

Przykład krok po kroku: szerokość rzeki

Z punktu A na brzegu widać punkt B po drugiej stronie rzeki. Po przejściu 20 m wzdłuż brzegu do punktu C kąt ACB wynosi 40°, a kąt przy A jest prosty. Oblicz szerokość AB.

• Krok 1: AB jest bokiem naprzeciw kąta 40°.
• Krok 2: AC=20 m jest bokiem przy kącie.
• Krok 3: tg 40°=AB/20.
• Krok 4: AB=20·tg 40°≈20·0,8391≈16,78 m.

Kąt wzniesienia i kąt nachylenia

Kąt wzniesienia mierzymy od poziomu ku górze, np. patrząc na szczyt wieży. Kąt nachylenia opisuje ustawienie rampy, dachu lub drogi względem poziomu. W obu przypadkach należy wyraźnie zaznaczyć na rysunku, gdzie znajduje się poziom.

Procentowe nachylenie

Nachylenie 10% nie oznacza kąta 10°. Oznacza, że na każde 100 m poziomego przesunięcia wysokość zmienia się o 10 m.

nachylenie procentowe=100%·wysokość/odległość pozioma

Ponieważ tg α=wysokość/odległość pozioma, mamy także tg α=nachylenie procentowe/100.

Najczęstsze błędy

• Brak rysunku lub błędne położenie kąta.
• Mylenie boku przy kącie z bokiem naprzeciw.
• Dodanie wysokości oczu w złym momencie albo pominięcie jej.
• Traktowanie nachylenia 10% jako kąta 10°.
• Użycie trybu radianowego zamiast stopni.
• Zaokrąglanie wartości funkcji przed końcem obliczeń.
• Brak jednostki albo nierealny wynik.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy wybrana funkcja zawiera oba potrzebne boki.
• Dla małego kąta wysokość powinna być niewielka w porównaniu z odległością.
• Przeciwprostokątna musi być najdłuższym bokiem.
• Jednostki wszystkich długości muszą być zgodne.
• Na końcu oceń, czy wynik jest realistyczny.

Najczęstsze pytania