Średnia ważona uwzględnia różną liczebność albo znaczenie poszczególnych wartości. Każdą wartość mnożymy przez przypisaną jej wagę, dodajemy iloczyny i dzielimy przez sumę wag.
Pojęcia, od których zaczynamy
Waga dwa oznacza dwukrotnie większy udział niż waga jeden. Dla całkowitych wag można wyobrazić sobie powtarzanie obserwacji. Wartość cztery z wagą dwa oraz dziesięć z wagą jeden odpowiadają liście \(4,4,10\). Taka interpretacja wyjaśnia, dlaczego mianownik wynosi trzy, nie dwa.
Wagi mogą oznaczać liczby osób, częstości lub umowne znaczenie ocen. Przyjmujemy wagi nieujemne, z co najmniej jedną dodatnią. Waga zero pomija wartość. Przed rachunkiem połącz każdą wartość z jej własną wagą; przestawienie wag między wartościami zwykle zmienia średnią.
Zasada i zapis
\(x_i\) to wartości, \(w_i\) ich wagi. Dzielimy przez sumę wag, która musi być dodatnia.
Jak czytać rysunek?
Rysunek rozwija wagi jeden, dwa i trzy w sześć pól: jedno z oceną dwa, dwa z oceną cztery i trzy z oceną pięć. Pola pokazują udział ocen, nie sześć różnych ocen. Suma wszystkich liczb wynosi dwadzieścia pięć.
Przykład krok po kroku
Oceny dwa, cztery i pięć mają odpowiednio wagi jeden, dwa i trzy. Oblicz średnią ważoną.
- Pomnóż każdą ocenę przez jej wagę i dodaj wyniki.\(1\cdot2+2\cdot4+3\cdot5=2+8+15=25\)
- Dodaj wagi, aby ustalić mianownik.\(1+2+3=6\)
- Podziel i zaokrąglij dopiero na końcu.\(\overline{x}_w=\frac{25}{6}\approx4{,}17\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Dwie grupy mają różne liczebności: dziesięć osób ze średnią osiem oraz trzydzieści ze średnią cztery. Wspólna średnia wynosi \(\frac{10\cdot8+30\cdot4}{40}=5\), a nie sześć. Średnie grup ważymy liczbami ich członków; proste uśrednienie działa przy równych liczebnościach.
Jeżeli wagi procentowe sumują się do stu procent, można użyć ułamków dziesiętnych o sumie jeden. Wyniki osiemdziesiąt i siedemdziesiąt z wagami czterdzieści i sześćdziesiąt procent dają \(80\cdot0{,}4+70\cdot0{,}6=74\). Pomnożenie wszystkich wag przez tę samą dodatnią liczbę nie zmienia średniej, bo skraca się w liczniku i mianowniku.