Średnia arytmetyczna jest sumą wszystkich obserwacji podzieloną przez ich liczbę. Można ją rozumieć jako wartość, którą każdy otrzymałby po równym rozdzieleniu całej sumy.
Pojęcia, od których zaczynamy
Wyobraź sobie trzy pudełka z dwiema, czterema i dziewięcioma kulkami. Razem jest piętnaście kulek. Po równym rozdzieleniu do trzech pudełek w każdym byłoby pięć. To średnia, chociaż żadne początkowo nie zawierało pięciu kulek.
Każda obserwacja liczy się osobno. Dla danych \(2,2,8\) mamy trzy obserwacje, a nie dwie różne wartości. Powtórzenia wpływają zarówno na sumę, jak i mianownik. Średnia ma tę samą jednostkę co dane, np. punkty, minuty lub złote. Liczymy ją dla niepustego zbioru danych liczbowych.
Zasada i zapis
\(n\) to liczba obserwacji, \(S\) ich suma. Kreska nad x oznacza średnią, a nie dodatkową obserwację.
Jak czytać rysunek?
Pierwszy zestaw słupków ma wysokości dwa, cztery i dziewięć. Drugi pokazuje trzy równe wysokości pięć. Łączna suma pozostaje piętnaście. Przesuwanie ilości między pudełkami ilustruje wyrównanie, nie zmianę całej sumy.
Przykład krok po kroku
Średnia pięciu liczb wynosi dwanaście. Cztery znane liczby mają sumę czterdzieści siedem. Znajdź piątą.
- Cofnij dzielenie, aby odzyskać sumę wszystkich pięciu liczb.\(S=5\cdot12=60\)
- Od całej sumy odejmij sumę znanych obserwacji.\(x=60-47=13\)
- Podstaw wynik i sprawdź średnią.\(\frac{47+13}{5}=12\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Dodanie tej samej liczby do każdej obserwacji zwiększa o nią średnią. Pomnożenie wszystkich wartości przez ten sam czynnik mnoży przez niego średnią. Gdy do zbioru dopisujemy nową obserwację, zmienia się jednak także liczba danych. Do czterech wyników o średniej dziesięć dopisujemy dwadzieścia: nowa średnia wynosi \(\frac{4\cdot10+20}{5}=12\).
Średnia musi leżeć między minimum i maksimum, ale nie musi być jedną z obserwacji. Jest wrażliwa na wyniki skrajne. Nie opisuje też rozrzutu: dane \(0,10\) i \(5,5\) mają tę samą średnią pięć. Po obliczeniu wyjaśnij, czego przeciętny poziom właśnie podajesz.