Mediana

Wyobraź sobie grupę ludzi ustawionych od najniższego do najwyższego. Mediana to osoba stojąca dokładnie pośrodku kolejki. Nie interesuje jej, jak bardzo skrajnie wysoki jest ostatni uczestnik — liczy się pozycja w uporządkowanym szeregu.

Konkret: środek uporządkowanej kolejki

• Najpierw porządkujemy dane od najmniejszej do największej.
• Gdy liczba danych jest nieparzysta, mediana jest jedną środkową wartością.
• Gdy liczba danych jest parzysta, mediana jest średnią dwóch środkowych wartości.
• Mediana dzieli uporządkowany zbiór na dwie części.
• Co najmniej połowa danych jest nie większa od mediany i co najmniej połowa nie mniejsza od mediany.

Reprezentacja: pozycje, nie suma

• W medianie najważniejsza jest kolejność danych.
• Nie dodajemy wszystkich liczb, chyba że trzeba obliczyć średnią dwóch środkowych.
• Wartość skrajna zwykle nie zmienia mediany, jeśli nie przesunie środkowych pozycji.
• Powtarzające się wartości zapisujemy tyle razy, ile występują.
• Dla n nieparzystego środkowa pozycja to (n+1)/2.

Abstrakcja: algorytm

• Uporządkuj dane rosnąco.
• Policz liczbę danych n.
• Jeśli n jest nieparzyste, wybierz element na pozycji (n+1)/2.
• Jeśli n jest parzyste, znajdź elementy na pozycjach n/2 oraz n/2+1.
• Oblicz średnią tych dwóch środkowych wartości.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim M-E-D-I-A-N-A: Mniejsze ustaw z lewej, Elementy policz, Dojdź do środka, Ile danych sprawdź, A gdy parzyście — dwa środki, Następnie uśrednij, Analizuj wynik. W pałacu pamięci liczby ustawiają się w kolejce do kina. Dwie skrajne liczby są gigantami, ale strażnik-mediana wpuszcza tylko osobę ze środka albo dwójkę środkowych, które siadają razem na jednym fotelu.

Przykład krok po kroku: nieparzysta liczba danych

Znajdź medianę liczb 9, 3, 7, 5, 11.

• Krok 1: porządkujemy dane: 3, 5, 7, 9, 11.
• Krok 2: danych jest 5.
• Krok 3: środkowa pozycja to (5+1)/2=3.
• Krok 4: trzecią wartością jest 7.
• Odpowiedź: mediana wynosi 7.

Przykład krok po kroku: parzysta liczba danych

Znajdź medianę liczb 2, 10, 6, 4.

• Krok 1: porządkujemy dane: 2, 4, 6, 10.
• Krok 2: danych jest 4.
• Krok 3: środkowe wartości to 4 i 6.
• Krok 4: (4+6)/2=5.
• Odpowiedź: mediana wynosi 5.

Przykład krok po kroku: wartość skrajna

Porównaj medianę zbiorów 2, 3, 4, 5, 6 oraz 2, 3, 4, 5, 1000.

• W pierwszym zbiorze środkową wartością jest 4.
• W drugim zbiorze środkową wartością nadal jest 4.
• Wniosek: bardzo duża wartość skrajna nie zmieniła mediany.

Przykład krok po kroku: dane z powtórzeniami

Znajdź medianę liczb 1, 2, 2, 2, 8, 9.

• Dane są już uporządkowane.
• Środkowe wartości to trzecia i czwarta liczba, czyli 2 i 2.
• (2+2)/2=2.
• Odpowiedź: mediana wynosi 2.

Przykład krok po kroku: brakująca wartość

Uporządkowany zestaw to 3, 5, x, 11, 14, a mediana wynosi 8. Znajdź x.

• Danych jest 5, więc mediana to trzecia wartość.
• Trzecią wartością jest x.
• Skoro mediana wynosi 8, to x=8.

Mediana a średnia

Dla danych 2, 3, 4, 5, 100 mediana wynosi 4, a średnia 22,8. Średnia została mocno podniesiona przez wartość 100, natomiast mediana pozostała bliżej typowych wyników.

Najczęstsze błędy

• Wyznaczanie środka bez wcześniejszego uporządkowania danych.
• Wybieranie jednego elementu środkowego przy parzystej liczbie danych.
• Dzielenie sumy wszystkich danych przez ich liczbę, czyli obliczanie średniej zamiast mediany.
• Pomijanie powtarzających się wartości.
• Mylenie numeru pozycji z wartością elementu.
• Zaokrąglanie dwóch środkowych wartości przed ich uśrednieniem.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy dane są uporządkowane.
• Policz ponownie liczbę elementów.
• Dla nieparzystej liczby danych upewnij się, że wybrano dokładnie jedną środkową pozycję.
• Dla parzystej liczby danych sprawdź, czy uśredniono dwa środkowe elementy.
• Oceń, czy po obu stronach mediany znajduje się taka sama liczba pozycji.

Najczęstsze pytania