MedianaPodstawa

Mediana opisuje środek uporządkowanego zestawu liczbowego. Przy nieparzystej liczbie obserwacji bierzemy jedną środkową wartość, a przy parzystej średnią dwóch środkowych.

Pojęcia, od których zaczynamy

Zanim wskażesz środek, ustaw liczby od najmniejszej do największej. Nie usuwaj powtórzeń: dwie jednakowe obserwacje zajmują dwa miejsca. Środkowy element pierwotnie zapisanej listy nie musi być medianą, ponieważ kolejność zapisu mogła być przypadkowa.

Oddziel numer miejsca od wartości na tym miejscu. Dla pięciu danych środkowa jest pozycja trzecia, lecz mediana to liczba stojąca na tej pozycji, nie automatycznie trzy. Dla sześciu danych potrzebujemy wartości z pozycji trzeciej i czwartej. Mediana dzieli dane tak, że co najmniej połowa jest od niej nie większa i co najmniej połowa nie mniejsza.

Zasada i zapis

Jak czytać rysunek?

W górnym rzędzie jest pięć uporządkowanych danych i jedna środkowa wartość siedem. Dolny rząd zawiera cztery dane; wyróżniono czwórkę i ósemkę. Ich średnia sześć nie musi występować na liście.

Przykład krok po kroku

Dane zapisano w kolejności \(10,2,8,4\). Wyznacz medianę.

1. Uporządkuj wszystkie cztery obserwacje, zachowując każdą z nich.\(2,4,8,10\)
2. Ustal dwie środkowe pozycje i odczytaj wartości.\(n=4,\quad x_2=4,\quad x_3=8\)
3. Oblicz średnią wartości, nie numerów miejsc.\(Me=\frac{4+8}{2}=6\)

Typowy błąd

Dodatkowy przykład i kontrola

W tabeli liczebności można znaleźć medianę bez wypisywania całej listy. Jeśli dwójka występuje trzy razy, piątka dwa razy, a dziewiątka raz, mamy sześć obserwacji. Miejsca pierwsze–trzecie zajmuje dwójka, czwarte–piąte piątka. Mediana wynosi \(\frac{2+5}{2}=3{,}5\).

Mediana jest odporniejsza na wartości skrajne niż średnia, ale nie znaczy to, że nigdy się nie zmienia. W danych \(2,3,4,5,100\) mediana wynosi cztery. Zastąpienie setki tysiącem pozostawia środek bez zmian; dopisanie nowych obserwacji może jednak zmienić pozycje środkowe.