Zdarzenie przeciwne do \(A\) obejmuje dokładnie te dopuszczalne wyniki, przy których \(A\) nie zachodzi. Jego prawdopodobieństwo otrzymujemy, odejmując prawdopodobieństwo \(A\) od jedności.
Pojęcia, od których zaczynamy
Najpierw ustal przestrzeń wyników. Przy rzucie kostką zdarzenie „więcej niż cztery oczka” zawiera piątkę i szóstkę. Jego przeciwieństwem są wyniki od jednego do czterech. Nie dopisujemy zera ani siódemki, bo nie należą do tego doświadczenia.
Zdarzenie przeciwne oznaczamy \(A^c\) albo \(A'\). Zdarzenia \(A\) i \(A^c\) nie mogą zajść jednocześnie, ale jedno z nich musi zajść. To dwa warunki naraz: sama rozłączność jeszcze nie wystarcza. „Jedynka” i „dwójka” na kostce są rozłączne, lecz nie wyczerpują wszystkich wyników.
Zasada i zapis
Cała przestrzeń ma prawdopodobieństwo jeden. Wzór na dopełnienie nie wymaga równych szans wyników.
Jak czytać rysunek?
Osiem pól przedstawia pełne sekwencje trzech rzutów monetą. Tylko RRR nie zawiera orła. Zamiast osobno liczyć jeden, dwa i trzy orły, można usunąć tę jedną sekwencję z całości. Litery O i R oznaczają orła i reszkę.
Przykład krok po kroku
Rzucamy niezależnie trzy razy uczciwą kostką. Oblicz szansę co najmniej jednej szóstki.
- Przetłumacz przeciwieństwo: w żadnym z trzech rzutów nie wypada szóstka. W jednym rzucie jest pięć takich wyników.\(P(\text{brak szóstki w jednym rzucie})=\frac56\)
- Brak szóstki ma wystąpić w każdym niezależnym rzucie, dlatego mnożymy.\(P(A^c)=\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}\)
- Odejmij od jedności, zapisując ją z tym samym mianownikiem.\(P(A)=1-\frac{125}{216}=\frac{216-125}{216}=\frac{91}{216}\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Przy trzech niezależnych rzutach uczciwą monetą szansa co najmniej jednego orła to \(1-\frac18=\frac78\). Natomiast „dokładnie jeden orzeł” nie jest dopełnieniem braku orłów: pozostają jeszcze dwa i trzy orły. Słowa „dokładnie”, „co najmniej” i „co najwyżej” zmieniają zdarzenie.
Negując nierówność, zachowaj przypadek graniczny: przeciwieństwem \(x\gt4\) jest \(x\le4\), a przeciwieństwem \(x\ge4\) jest \(x\lt4\). Sprawdź dwa pytania: czy opisy mają wspólny wynik i czy obejmują wszystkie dopuszczalne wyniki? Poprawna para odpowiedzi to „nie” i „tak”.