Zdarzenie przeciwne

Wyobraź sobie, że wszystkie możliwe wyniki leżą na wielkim dywanie Ω. Zdarzenie A przykrywasz czerwoną płachtą, a zdarzenie przeciwne A̅ obejmuje całą pozostałą część dywanu. Razem pokrywają wszystko, ale nigdzie się nie nakładają.

Konkret: wszystko poza zdarzeniem A

• Rzut kostką: A oznacza liczbę parzystą, a A̅ liczbę nieparzystą.
• Losowanie karty: A oznacza asa, a A̅ kartę, która nie jest asem.
• Dwa rzuty monetą: A oznacza co najmniej jednego orła, a A̅ brak orła.

Reprezentacja: dopełnienie w Ω

Zdarzenie przeciwne do A zawiera wszystkie wyniki należące do Ω, które nie należą do A.

• Jeśli Ω={1,2,3,4,5,6} i A={2,4,6}, to A̅={1,3,5}.
• A i A̅ nie mają wspólnych wyników.
• Razem A oraz A̅ tworzą całe Ω.

Abstrakcja: najważniejsze zależności

• A∩A̅=∅.
• A∪A̅=Ω.
• P(A)+P(A̅)=1.
• P(A̅)=1−P(A).

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim P-O-Z-A: Pisz Ω, Oznacz A, Zbierz wszystko poza A, Analizuj sumę do 1. W pałacu pamięci ogromny odkurzacz wciąga wszystkie wyniki należące do A. To, co zostaje na podłodze, tworzy zdarzenie przeciwne. Nad pokojem świeci neon z cyfrą 1, przypominający, że prawdopodobieństwa A i A̅ zawsze razem dają 1.

Przykład krok po kroku: rzut kostką

A oznacza wyrzucenie liczby większej od 4.

• Krok 1: Ω={1,2,3,4,5,6}.
• Krok 2: A={5,6}.
• Krok 3: A̅={1,2,3,4}.
• Krok 4: P(A̅)=4/6=2/3.

Przykład krok po kroku: co najmniej jeden orzeł

Rzucamy monetą trzy razy. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego orła.

• Krok 1: łatwiej rozważyć zdarzenie przeciwne, czyli brak orła.
• Krok 2: brak orła oznacza wynik RRR.
• Krok 3: P(RRR)=1/8.
• Krok 4: P(co najmniej jeden orzeł)=1−1/8=7/8.

Przykład krok po kroku: losowanie kart

Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo, że nie będzie to as.

• Krok 1: P(as)=4/52=1/13.
• Krok 2: P(nie as)=1−1/13=12/13.
• Kontrola: w talii są 48 kart niebędących asami, więc 48/52=12/13.

Kiedy metoda przeciwna jest szczególnie wygodna?

• Przy zwrotach „co najmniej jeden”.
• Przy zwrotach „nie wystąpi żaden”.
• Gdy zdarzenie A ma wiele przypadków, a A̅ tylko jeden lub kilka.
• Gdy łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo braku zdarzenia niż samego zdarzenia.

Najczęstsze błędy

• Odejmowanie liczby wyników od 1 zamiast prawdopodobieństwa.
• Tworzenie zdarzenia przeciwnego bez odniesienia do Ω.
• Mylenie „co najmniej jeden” z „dokładnie jeden”.
• Pomijanie części wyników należących do A̅.
• Uzyskanie sumy P(A)+P(A̅) różnej od 1.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy A i A̅ są rozłączne.
• Sprawdź, czy ich suma daje całe Ω.
• Dodaj P(A) i P(A̅); wynik powinien wynosić 1.
• Upewnij się, że oba prawdopodobieństwa mieszczą się między 0 i 1.

Najczęstsze pytania