Prawdopodobieństwo klasyczne

Wyobraź sobie wielkie koło fortuny podzielone na jednakowe pola. Jeśli wszystkie pola mają taką samą szansę zatrzymania wskazówki, to prawdopodobieństwo zdarzenia zależy od tego, ile pól jest dla nas korzystnych w porównaniu z liczbą wszystkich pól.

Konkret: korzystne pola na kole

• Na kostce są 6 jednakowo możliwych wyników.
• Dla zdarzenia „wypadnie liczba parzysta” korzystne są 2, 4 i 6.
• Mamy więc 3 wyniki sprzyjające spośród 6 możliwych.
• Szansa wynosi 3/6=1/2.

Reprezentacja: dwa liczniki

W modelu klasycznym liczymy dwie rzeczy: liczbę wszystkich wyników elementarnych oraz liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu.

• n(Ω) oznacza liczbę wszystkich możliwych wyników.
• n(A) oznacza liczbę wyników sprzyjających zdarzeniu A.
• Wyniki muszą być jednakowo prawdopodobne.
• Zdarzenie A musi być podzbiorem Ω.

Abstrakcja: wzór klasyczny

Jeżeli wszystkie wyniki elementarne są jednakowo prawdopodobne, to:

P(A)=n(A)/n(Ω)

• P(A) jest zawsze liczbą od 0 do 1.
• P(A)=0 dla zdarzenia niemożliwego.
• P(A)=1 dla zdarzenia pewnego.
• Im więcej wyników sprzyjających, tym większe prawdopodobieństwo.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim S-Z-A-N-S-A: Spisz Ω, Zlicz wszystkie wyniki, Analizuj warunek, Naznacz korzystne, Stwórz ułamek, Analizuj wynik. W pałacu pamięci stoisz przy gigantycznym automacie z kulkami. Wszystkie kulki wpadają do wielkiego mianownika, a tylko korzystne wyskakują rakietą do licznika. Na końcu ogromny krokodyl sprawdza, czy licznik nie jest większy od mianownika.

Przykład krok po kroku: rzut kostką

Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej od 4.

• Krok 1: Ω={1,2,3,4,5,6}, więc n(Ω)=6.
• Krok 2: A={5,6}, więc n(A)=2.
• Krok 3: P(A)=2/6=1/3.
• Kontrola: wynik leży między 0 i 1.

Przykład krok po kroku: losowanie karty

Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa?

• Krok 1: wszystkich kart jest 52.
• Krok 2: asów są 4.
• Krok 3: P(A)=4/52=1/13.

Przykład krok po kroku: dwa rzuty monetą

Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła.

• Krok 1: Ω={OO,OR,RO,RR}, więc n(Ω)=4.
• Krok 2: A={OR,RO}, więc n(A)=2.
• Krok 3: P(A)=2/4=1/2.

Zdarzenie przeciwne

Dla zdarzenia przeciwnego korzystamy z zależności P(A przeciwne)=1-P(A).

• Jeśli P(A)=0,7, to P(A przeciwne)=0,3.
• Jest to szczególnie wygodne przy zdarzeniach typu „co najmniej jeden”.

Najczęstsze błędy

• Zamiana licznika z mianownikiem.
• Liczenie tylko wyników korzystnych bez wyznaczenia Ω.
• Stosowanie wzoru, gdy wyniki nie są jednakowo prawdopodobne.
• Pomijanie kolejności w doświadczeniach wieloetapowych.
• Brak skrócenia ułamka.
• Otrzymanie wyniku większego od 1 i brak kontroli.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy 0≤P(A)≤1.
• Upewnij się, że n(A)≤n(Ω).
• Sprawdź, czy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe.
• Porównaj wynik z intuicją: więcej korzystnych wyników powinno oznaczać większą szansę.
• Dla zdarzenia przeciwnego sprawdź, czy sumy prawdopodobieństw dają 1.

Najczęstsze pytania