Zbiór zdarzeń elementarnych \(\Omega\) zawiera wszystkie możliwe wyniki przyjętego opisu doświadczenia. Każdy rezultat musi odpowiadać dokładnie jednemu elementowi tego zbioru.
Pojęcia, od których zaczynamy
Najpierw ustal dokładność zapisu. Jeśli zapisujemy oczka na pierwszej i drugiej kostce, pełnym wynikiem jest uporządkowana para \((a,b)\). Pierwsza współrzędna zawsze dotyczy pierwszej kostki. Pary \((2,5)\) i \((5,2)\) są wtedy różne, choć mają taką samą sumę.
Zbiór \(\Omega\) obejmuje także wyniki niekorzystne dla badanego zdarzenia. Nie tworzymy go wyłącznie z wyników, których oczekujemy. Zapis \(|\Omega|\) oznacza ich liczbę. W zbiorze nie powtarzamy tego samego elementu, ale nie łączymy różnych elementów tylko dlatego, że spełniają ten sam warunek.
Zasady i wzory
W skończonym doświadczeniu wieloetapowym można użyć reguły mnożenia, jeśli liczba kontynuacji na danym etapie jest stała dla każdego wcześniejszego dopuszczalnego wyboru. Bez tego warunku trzeba rozdzielić przypadki.
Dla jednego rzutu monetą zapisujemy \(\Omega=\{O,R\}\), dla dwóch kolejnych \(\Omega=\{OO,OR,RO,RR\}\). W losowaniu dwóch różnych żetonów bez zwracania nie wolno dopisać wyniku, w którym ten sam żeton występuje dwukrotnie.
\(n_i\) to liczba możliwości na etapie i, taka sama dla każdego dopuszczalnego przebiegu wcześniejszych etapów. Kolejność etapów należy zachować w opisie wyniku.
Jak czytać rysunek?
Tabela ma sześć wierszy dla wyniku pierwszej kostki i sześć kolumn dla drugiej. Jedna komórka odpowiada jednej parze, np. wiersz \(2\), kolumna \(5\) oznacza \((2,5)\). Jest \(6\cdot6=36\) komórek. Wyróżnione sześć par daje sumę \(7\).
Przykład krok po kroku
Rzucamy monetą, a następnie sześcienną kostką. Zapisujemy obydwa wyniki.
- Po orle możliwe jest każde oczko kostki.\((O,1),(O,2),(O,3),(O,4),(O,5),(O,6)\)
- Po reszce powstaje druga, rozłączna grupa sześciu wyników.\((R,1),(R,2),(R,3),(R,4),(R,5),(R,6)\)
- Dodaj obie grupy albo zastosuj mnożenie etapów.\(|\Omega|=6+6=2\cdot6=12\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Jeżeli zapisujemy wyłącznie sumę oczek, dopuszczalny jest model \(\Omega=\{2,3,\ldots,12\}\). Ma jedenaście wyników, ale nie są one równoprawdopodobne. Suma \(2\) ma prawdopodobieństwo \(\frac1{36}\), a suma \(7\) \(\frac6{36}=\frac16\). Model trzeba dopasować do zapisu wyników, a wzór klasyczny stosować tylko przy równych szansach.
Przy dwóch losowaniach z trzech ponumerowanych żetonów bez zwracania jest \(3\cdot2=6\) uporządkowanych par. Ze zwracaniem jest \(3^2=9\). Jeśli losujemy naraz nieuporządkowaną parę różnych żetonów, są trzy zestawy. Zmiana kolejności, zwracania lub sposobu obserwacji zmienia opis przestrzeni wyników.