Zbiór zdarzeń elementarnych

Wyobraź sobie planszę gry, na której przed rozpoczęciem rozkładasz wszystkie możliwe zakończenia. Zbiór zdarzeń elementarnych, oznaczany symbolem Ω, jest właśnie taką pełną planszą: zawiera każdy możliwy wynik doświadczenia losowego dokładnie raz.

Konkret: komplet możliwych wyników

• Rzut monetą: orzeł albo reszka.
• Rzut kostką: jedna z liczb od 1 do 6.
• Dwa rzuty monetą: cztery uporządkowane pary wyników.
• Losowanie jednej kuli: jeden z kolorów występujących w urnie.

Reprezentacja: jak budować Ω

Najpierw precyzyjnie określamy doświadczenie i sposób zapisu pojedynczego wyniku. Następnie wypisujemy wszystkie możliwe wyniki elementarne.

• Wyniki muszą być możliwe.
• Żaden możliwy wynik nie może zostać pominięty.
• Ten sam wynik nie powinien pojawić się dwa razy.
• Przy kilku etapach trzeba zachować kolejność.

Abstrakcja: definicja

Zbiór zdarzeń elementarnych Ω to zbiór wszystkich możliwych wyników elementarnych danego doświadczenia losowego.

• Dla rzutu monetą: Ω={O,R}.
• Dla rzutu kostką: Ω={1,2,3,4,5,6}.
• Dla dwóch rzutów monetą: Ω={OO,OR,RO,RR}.
• Dla rzutu monetą i kostką: Ω={(O,1),(O,2),...,(O,6),(R,1),...,(R,6)}.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim O-M-E-G-A: Opisz doświadczenie, Modeluj jeden wynik, Enumeruj możliwości, Gwarantuj kompletność, Analizuj powtórzenia. W pałacu pamięci widzisz ogromną literę Ω jako bramę stadionu. Każdy możliwy wynik musi przejść przez bramę i usiąść na osobnym krześle. Strażnik z megafonem wyrzuca wyniki niemożliwe, bliźniacze kopie wyników łączy w jedną, a reflektor sprawdza, czy żadne krzesło nie pozostało bez właściwego rezultatu.

Przykład krok po kroku: jeden rzut kostką

Wyznacz zbiór zdarzeń elementarnych dla jednego rzutu kostką sześcienną.

• Krok 1: wynik opisujemy liczbą wyrzuconych oczek.
• Krok 2: możliwe są liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Krok 3: Ω={1,2,3,4,5,6}.
• Kontrola: zbiór ma 6 elementów, tyle ile ścian ma kostka.

Przykład krok po kroku: dwa rzuty kostką

Rzucamy kostką dwa razy. Jak zapisać Ω?

• Krok 1: wynik zapisujemy jako uporządkowaną parę (a,b).
• Krok 2: a oznacza wynik pierwszego rzutu, b wynik drugiego.
• Krok 3: a i b mogą przyjmować wartości od 1 do 6.
• Krok 4: Ω={(1,1),(1,2),...,(6,6)}.
• Krok 5: liczba wyników wynosi 6·6=36.

Przykład krok po kroku: losowanie kuli

W urnie są trzy ponumerowane kule: 1, 2 i 3. Losujemy jedną kulę.

• Krok 1: wynik opisujemy numerem kuli.
• Krok 2: Ω={1,2,3}.
• Krok 3: nawet jeśli kule mają ten sam kolor, ich numery pozwalają je rozróżnić.

Drzewko wyników

Przy doświadczeniach wieloetapowych wygodne jest drzewko. Każda gałąź oznacza jedną możliwość na danym etapie, a pełna ścieżka od początku do końca odpowiada jednemu wynikowi elementarnemu.

• Dwa rzuty monetą dają 2·2=4 ścieżki.
• Trzy rzuty monetą dają 2·2·2=8 ścieżek.
• Rzut monetą i kostką daje 2·6=12 ścieżek.

Najczęstsze błędy

• Pomijanie wyników przy doświadczeniach wieloetapowych.
• Mylenie OR i RO, mimo że kolejność rzutów jest różna.
• Zapisywanie zdarzenia zamiast całego Ω.
• Wpisywanie tego samego wyniku więcej niż raz.
• Nieprecyzyjne określenie, co jest pojedynczym wynikiem.
• Traktowanie identycznie wyglądających, ale ponumerowanych obiektów jako nierozróżnialnych.

Kontrola wyniku

• Policz liczbę wyników także regułą mnożenia.
• Sprawdź, czy wszystkie etapy doświadczenia występują w zapisie.
• Upewnij się, że każdy wynik jest możliwy i zapisany dokładnie raz.
• Przy uporządkowanych parach sprawdź znaczenie każdej pozycji.
• Zadaj pytanie: czy po wykonaniu doświadczenia zawsze otrzymam dokładnie jeden element z Ω?

Najczęstsze pytania