Zdarzenie losowe jest zbiorem wyników spełniających określony warunek. Zachodzi wtedy, gdy otrzymany wynik należy do tego zbioru.
Pojęcia, od których zaczynamy
W rzucie kostką wynik \(4\) jest konkretnym rezultatem. Zdarzenie „wypadła liczba parzysta” obejmuje trzy możliwe rezultaty: \(2,4,6\). Nie utożsamiaj warunku z pojedynczym wynikiem ani z liczbą wyników.
Wszystkie dopuszczalne wyniki tworzą zbiór \(\Omega\). Zdarzenie oznaczamy np. \(A\), a zapis \(A\subseteq\Omega\) mówi, że każdy wynik z \(A\) jest dopuszczalny w doświadczeniu. Pionowe kreski w \(|A|\) oznaczają liczbę elementów zbioru, nie samo zdarzenie.
Zasady i wzory
Zdarzenie pewne to całe \(\Omega\), a niemożliwe to zbiór pusty \(\varnothing\). Zdarzenie jednoelementowe zawiera dokładnie jeden wynik. Zdarzenie przeciwne \(A'\) składa się ze wszystkich wyników z \(\Omega\), które nie należą do \(A\).
Suma \(A\cup B\) oznacza spełnienie co najmniej jednego warunku. Część wspólna \(A\cap B\) oznacza spełnienie obu naraz. Słowo „lub” dopuszcza oba warunki; „albo dokładnie jedno” wymaga innego zbioru.
\(\setminus\) oznacza usunięcie elementów drugiego zbioru z pierwszego. Zdarzenie i jego dopełnienie nie mają wspólnych wyników.
Jak czytać rysunek?
W dużym zbiorze są wszystkie oczka kostki, a mniejszy wyróżnia parzyste. Wyniki \(2,4,6\) należą do zdarzenia \(A\), pozostałe nie. Jeśli wypadnie \(4\), zdarzenie zachodzi; jeśli \(5\), nie zachodzi. To samo zdarzenie może wystąpić przy różnych konkretnych wynikach.
Przykład krok po kroku
Rzucamy kostką. Niech \(A\) oznacza liczbę parzystą, a \(B\) liczbę większą od trzech.
- Wypisz wyniki spełniające każdy warunek.\(A=\{2,4,6\},\quad B=\{4,5,6\}\)
- W części wspólnej zostaw wyniki znajdujące się w obu listach.\(A\cap B=\{4,6\}\)
- W sumie zbiorów umieść każdą liczbę z obu list dokładnie raz.\(A\cup B=\{2,4,5,6\}\)
- Dopełnienie A zawiera pozostałe wyniki kostki.\(A'=\{1,3,5\}\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Przy dwóch rzutach monetą „dokładnie jeden orzeł” oznacza \(\{OR,RO\}\), a „co najmniej jeden orzeł” \(\{OO,OR,RO\}\). Zdarzeniem przeciwnym do „co najmniej jednego orła” jest „ani jednego orła”, czyli \(\{RR\}\). Nie zamieniaj słów „dokładnie” i „co najmniej”.
Najpierw opisujemy zbiór wyników, dopiero później możemy obliczać jego prawdopodobieństwo. W skończonym modelu o jednakowo prawdopodobnych wynikach \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\). Dla parzystych oczek uczciwej kostki daje to \(\frac36=\frac12\); przy nierównych szansach samo policzenie elementów nie wystarcza.