Zdarzenie losowe

Wyobraź sobie, że przestrzeń wyników Ω jest wielką salą pełną możliwych rezultatów. Zdarzenie losowe działa jak kolorowa obręcz położona na podłodze: obejmuje dokładnie te wyniki, które spełniają określony warunek.

Konkret: warunek wybiera wyniki

• Rzut kostką i zdarzenie „wypadła liczba parzysta”.
• Losowanie karty i zdarzenie „wylosowano asa”.
• Dwa rzuty monetą i zdarzenie „wypadł co najmniej jeden orzeł”.
• Losowanie ucznia i zdarzenie „wylosowana osoba ma dziś urodziny”.

Reprezentacja: zdarzenie jako podzbiór Ω

Zdarzenie losowe to zbiór wyników elementarnych spełniających podany warunek. Dlatego każde zdarzenie A jest podzbiorem przestrzeni Ω.

• Dla rzutu kostką Ω={1,2,3,4,5,6}.
• Zdarzenie A: „liczba parzysta”, więc A={2,4,6}.
• Zdarzenie B: „liczba większa od 4”, więc B={5,6}.
• Zdarzenie C: „liczba równa 7”, więc C=∅.

Abstrakcja: podstawowe rodzaje zdarzeń

• Zdarzenie elementarne zawiera dokładnie jeden wynik.
• Zdarzenie pewne to całe Ω.
• Zdarzenie niemożliwe to zbiór pusty ∅.
• Zdarzenie przeciwne do A zawiera wszystkie wyniki z Ω, które nie należą do A.
• Suma zdarzeń A∪B oznacza, że zachodzi A lub B.
• Iloczyn zdarzeń A∩B oznacza, że zachodzą jednocześnie A i B.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim Z-B-I-E-R-Z: Zapisz Ω, Badaj warunek, Identyfikuj wyniki, Eliminuj niespełniające, Rozpisz zbiór, Zweryfikuj. W pałacu pamięci na dywanie leży gigantyczna obręcz zdarzenia. Najpierw zapisujesz wszystkie wyniki na ścianie, potem wielki detektyw bada warunek, wyniki spełniające warunek wskakują do obręczy, a pozostałe są wyrzucane przez sprężynę. Na końcu lupa sprawdza, czy żaden wynik nie został pominięty.

Przykład krok po kroku: liczba parzysta

Rzucamy sześcienną kostką. Wyznacz zdarzenie A: „wypadła liczba parzysta”.

• Krok 1: Ω={1,2,3,4,5,6}.
• Krok 2: wybieramy wyniki podzielne przez 2.
• Krok 3: A={2,4,6}.
• Kontrola: każdy element A należy do Ω i spełnia warunek.

Przykład krok po kroku: co najmniej jeden orzeł

Rzucamy monetą dwa razy. Wyznacz zdarzenie B: „wypadł co najmniej jeden orzeł”.

• Krok 1: Ω={OO,OR,RO,RR}.
• Krok 2: wybieramy wyniki zawierające co najmniej jedno O.
• Krok 3: B={OO,OR,RO}.
• Wynik RR nie należy do B, bo nie zawiera orła.

Przykład krok po kroku: zdarzenie przeciwne

Dla rzutu kostką A={2,4,6}. Wyznacz zdarzenie przeciwne do A.

• Krok 1: Ω={1,2,3,4,5,6}.
• Krok 2: usuwamy z Ω wyniki należące do A.
• Krok 3: A przeciwne={1,3,5}.
• Kontrola: A i zdarzenie przeciwne nie mają wspólnych wyników, a razem tworzą Ω.

Przykład krok po kroku: suma i iloczyn

Dla rzutu kostką A={2,4,6}, B={4,5,6}.

• A∪B={2,4,5,6}, bo wystarczy należeć do A lub B.
• A∩B={4,6}, bo wynik musi należeć jednocześnie do obu zdarzeń.

Najczęstsze błędy

• Zapisywanie opisu słownego bez wskazania wyników elementarnych.
• Dodawanie do zdarzenia wyników spoza Ω.
• Mylenie „lub” z „i”.
• Pomijanie części wyników spełniających warunek.
• Mylenie zdarzenia niemożliwego ze zdarzeniem mało prawdopodobnym.
• Traktowanie zdarzenia przeciwnego jako wyniku o przeciwnym znaku zamiast dopełnienia w Ω.

Kontrola wyniku

• Każdy element zdarzenia musi należeć do Ω.
• Każdy zapisany wynik musi spełniać warunek.
• Żaden wynik spełniający warunek nie może zostać pominięty.
• Dla zdarzenia przeciwnego sprawdź, czy zbiory są rozłączne i razem dają Ω.
• Dla sumy użyj słowa „lub”, a dla iloczynu słowa „i jednocześnie”.

Najczęstsze pytania