Doświadczenie losowe to czynność o określonych zasadach, której wyniku pojedynczej próby nie znamy z góry. Potrafimy natomiast opisać zbiór możliwych wyników, np. oczka na kostce albo kolejne wyniki rzutów monetą.
Pojęcia, od których zaczynamy
Przed próbą ustalamy, co wykonujemy i co zapisujemy. Jeden rzut kostką i dwa kolejne rzuty to inne doświadczenia. Dwie rozróżnialne kostki możemy oznaczyć kolorami; wtedy wiemy, do której odnosi się każda współrzędna wyniku.
Pełny opis powinien też określać zasady losowania. Losowanie ze zwracaniem oznacza, że przed następną próbą oddajemy przedmiot do puli. Bez zwracania zostaje mniej przedmiotów. Nie trzeba z góry wiedzieć, który wynik wystąpi, ale trzeba wiedzieć, jakie wyniki są dopuszczalne.
Zasady i wzory
Symbol \(\Omega\), czytany „omega”, oznacza zbiór wszystkich wyników przyjętego modelu. Pojedynczy wynik możemy oznaczyć małą literą \(\omega\). Dla zwykłej kostki zapisującej liczbę oczek \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).
Losowość nie oznacza równych szans. Kostka obciążona nadal daje doświadczenie losowe, ale oczka mogą mieć różne prawdopodobieństwa. Założenie uczciwej kostki lub symetrycznej monety jest potrzebne dopiero wtedy, gdy chcemy przypisać wynikom równe szanse.
Ustal te trzy elementy przed obliczaniem prawdopodobieństwa.
Jak czytać rysunek?
Drzewko pokazuje dwa kolejne rzuty monetą. Każda ścieżka kończy się jednym zapisem: OO, OR, RO lub RR. Pierwsza litera odpowiada pierwszemu rzutowi. Wynik OR jest konkretną sekwencją; warunek „dokładnie jeden orzeł” obejmuje już dwie sekwencje, OR i RO.
Przykład krok po kroku
Losujemy kolejno dwa żetony oznaczone \(1,2,3\), bez zwracania. Zapisujemy kolejność numerów.
- Pierwszy numer ma trzy możliwości; drugi musi pochodzić z dwóch pozostałych żetonów.\(3\cdot2=6\)
- Wypisz wszystkie pary, zachowując kolejność i pomijając powtórzenie tego samego żetonu.\(\Omega=\{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\}\)
- Sprawdź zmianę zasad: ze zwracaniem możliwe byłyby również pary jednakowych numerów.\(3\cdot3=9\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Można zapisywać pary oczek dwóch kostek albo tylko ich sumę. To dwa różne sposoby opisu wyników. Dla niezależnych rzutów uczciwymi kostkami pary mają równe szanse, lecz sumy nie: sumę \(2\) daje tylko \((1,1)\), a sumę \(7\) sześć par. Nie wolno traktować jedenastu możliwych sum jak jedenastu równych szans.
Przed zadaniem sprawdź: ile jest etapów, co rozróżniamy, czy zwracamy wylosowany element i czy założono równe szanse. Powtarzanie doświadczenia w tych samych warunkach nie oznacza otrzymywania tego samego wyniku.