Suma zdarzeń

Wyobraź sobie dwa ogromne parasole oznaczone A i B. Suma zdarzeń obejmuje wszystkie krople, które spadły pod parasol A, pod parasol B albo pod oba jednocześnie. Najważniejsze jest to, aby części wspólnej nie policzyć dwa razy.

Konkret: dwa sposoby na sukces

• W rzucie kostką A może oznaczać wynik parzysty.
• B może oznaczać wynik większy od 3.
• Suma A∪B obejmuje wyniki należące przynajmniej do jednego z tych zdarzeń.
• Jeśli wynik należy do obu zdarzeń, w sumie zapisujemy go tylko raz.

Reprezentacja: dwa zachodzące na siebie koła

Na diagramie Venna suma zdarzeń to cały obszar koła A i cały obszar koła B, łącznie z częścią wspólną.

• A∪B oznacza: zaszło A lub B, lub oba zdarzenia.
• A∩B oznacza: zaszły jednocześnie A i B.
• Gdy koła się nie przecinają, zdarzenia są rozłączne.

Abstrakcja: wzór na prawdopodobieństwo sumy

Dla dowolnych zdarzeń:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Odejmujemy część wspólną, ponieważ została wcześniej policzona raz w P(A) i drugi raz w P(B).

Dla zdarzeń rozłącznych A∩B=∅, więc:

P(A∪B)=P(A)+P(B)

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim S-U-M-A: Spisz zdarzenia, Ustal część wspólną, Mieszaj przez dodawanie, Anuluj podwójne liczenie. W pałacu pamięci dwa gigantyczne odkurzacze A i B zasysają kolorowe kulki. Kulki z części wspólnej wpadają do obu worków i zaczynają głośno piszczeć. Wtedy mały robot odejmuje jeden komplet wspólnych kulek, aby każda została policzona dokładnie raz.

Przykład krok po kroku: rzut kostką

Niech A oznacza wynik parzysty, a B wynik większy od 3.

• Krok 1: Ω={1,2,3,4,5,6}.
• Krok 2: A={2,4,6}.
• Krok 3: B={4,5,6}.
• Krok 4: A∩B={4,6}.
• Krok 5: A∪B={2,4,5,6}.
• Krok 6: P(A∪B)=3/6+3/6−2/6=4/6=2/3.

Przykład krok po kroku: zdarzenia rozłączne

W jednym rzucie kostką A oznacza wyrzucenie 1, a B wyrzucenie 6.

• Krok 1: A i B nie mogą zajść jednocześnie.
• Krok 2: P(A)=1/6 oraz P(B)=1/6.
• Krok 3: P(A∪B)=1/6+1/6=2/6=1/3.

Przykład krok po kroku: losowanie karty

Z talii 52 kart losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa lub kiera?

• Krok 1: asów są 4, więc P(A)=4/52.
• Krok 2: kierów jest 13, więc P(B)=13/52.
• Krok 3: as kier należy do obu zdarzeń, więc P(A∩B)=1/52.
• Krok 4: P(A∪B)=4/52+13/52−1/52=16/52=4/13.

Znaczenie słowa „lub”

• W rachunku prawdopodobieństwa „A lub B” zwykle oznacza także możliwość zajścia obu zdarzeń.
• Jeśli zadanie mówi „dokładnie jedno z nich”, trzeba wykluczyć część wspólną.
• Jeśli zdarzenia są rozłączne, część wspólna jest pusta.

Najczęstsze błędy

• Dodawanie P(A)+P(B) bez sprawdzenia części wspólnej.
• Odejmowanie P(A∩B) przy zdarzeniach rozłącznych, mimo że wynosi ono 0.
• Mylenie sumy A∪B z iloczynem A∩B.
• Traktowanie słowa „lub” jako wykluczającego oba zdarzenia.
• Liczenie elementów części wspólnej dwa razy.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy P(A∪B) mieści się od 0 do 1.
• Wynik powinien być co najmniej tak duży jak większe z P(A) i P(B).
• Wynik nie może przekraczać P(A)+P(B).
• Porównaj obliczenia z bezpośrednim wypisaniem elementów A∪B.
• Jeśli zdarzenia są rozłączne, upewnij się, że P(A∩B)=0.

Najczęstsze pytania