Suma zdarzeń \(A\cup B\) oznacza zajście co najmniej jednego z nich: pierwszego, drugiego lub obu jednocześnie. Przy obliczaniu jej prawdopodobieństwa część wspólną liczymy tylko raz.
Pojęcia, od których zaczynamy
Zdarzenie jest zbiorem wyników. W rzucie kostką niech \(A\) oznacza parzyste oczka, a \(B\) wynik większy od czterech. Wtedy \(A=\{2,4,6\}\), \(B=\{5,6\}\). Wynik sześć spełnia oba warunki. Suma zbiorów zawiera go jeden raz, bo powtórne wypisanie nie tworzy nowego wyniku.
Symbol \(\cup\) czytamy „suma” lub „lub”, a \(\cap\) „część wspólna”. Matematyczne „lub” dopuszcza oba warunki. Polecenie „dokładnie jedno” wyklucza część wspólną i opisuje inne zdarzenie. Najpierw zaznacz właściwe wyniki, dopiero potem wybierz wzór.
Zasada i zapis
Przy dodaniu dwóch prawdopodobieństw wyniki wspólne uwzględniamy dwukrotnie. Odejmujemy ich jedno nadmiarowe policzenie.
Jak czytać rysunek?
Diagram dzieli wyniki kostki na cztery obszary: tylko A, oba warunki, tylko B oraz poza oboma. Do sumy należą wszystkie trzy obszary wewnątrz kół. Szóstka pozostaje w odpowiedzi, chociaż odejmujemy jej podwójne policzenie.
Przykład krok po kroku
Rzucamy uczciwą kostką. Szukamy prawdopodobieństwa wyniku parzystego lub większego od czterech.
- Odczytaj liczebności obu zdarzeń i ich części wspólnej.\(|A|=3,\quad |B|=2,\quad |A\cap B|=1\)
- Zastosuj wzór, używając wspólnego mianownika sześć.\(P(A\cup B)=\frac36+\frac26-\frac16=\frac46=\frac23\)
- Sprawdź bezpośrednio, wypisując wynikowy zbiór.\(A\cup B=\{2,4,5,6\}\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
W równomiernym losowaniu jednej karty z pełnej talii bez jokerów są cztery asy i trzynaście kierów. As kier należy do obu grup, więc szansa „as lub kier” wynosi \(\frac{4+13-1}{52}=\frac{16}{52}=\frac4{13}\). Nie odejmujemy wszystkich asów ani wszystkich kierów.
Suma musi mieć prawdopodobieństwo nie mniejsze niż każde zdarzenie osobno i nie większe niż jeden. Jeśli pytanie dotyczy „dokładnie jednego” z A i B, od sumy usuwamy także pozostawioną część wspólną. Wtedy otrzymujemy \(P(A)+P(B)-2P(A\cap B)\).