Iloczyn zdarzeń

Wyobraź sobie dwa reflektory oznaczone A i B, które oświetlają podłogę. Iloczyn zdarzeń to wyłącznie ten fragment, na który pada światło obu reflektorów jednocześnie. Wszystko poza częścią wspólną nie należy do A∩B.

Konkret: dwa warunki naraz

• W rzucie kostką A oznacza wynik parzysty.
• B oznacza wynik większy od 3.
• Iloczyn A∩B obejmuje tylko wyniki spełniające oba warunki: 4 i 6.
• Wynik 2 należy do A, ale nie należy do B, więc nie trafia do iloczynu.

Reprezentacja: część wspólna kół

Na diagramie Venna iloczyn zdarzeń to obszar przecięcia kół A i B.

• A∩B oznacza jednoczesne zajście A oraz B.
• Jeśli A∩B=∅, zdarzenia są rozłączne.
• Im większa część wspólna, tym więcej wyników spełnia oba warunki.

Abstrakcja: prawdopodobieństwo iloczynu

Dla zdarzeń niezależnych:

P(A∩B)=P(A)·P(B)

Dla zdarzeń zależnych trzeba uwzględnić wpływ pierwszego zdarzenia na drugie:

P(A∩B)=P(A)·P(B pod warunkiem A)

Na poziomie klasycznym można też wypisać wszystkie wyniki należące do A∩B i zastosować wzór P(A∩B)=n(A∩B)/n(Ω).

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim R-A-Z-E-M: Rozpisz Ω, Analizuj A, Zbadaj B, Eliminuj wyniki niespełniające obu warunków, Mnóż przy niezależności. W pałacu pamięci stoją dwie ogromne bramy. Pierwsza przepuszcza tylko wyniki z A, druga tylko wyniki z B. Do sali A∩B docierają wyłącznie te wyniki, które przeszły przez obie bramy. Nad wejściem obraca się gigantyczny znak mnożenia.

Przykład krok po kroku: rzut kostką

A oznacza wyrzucenie liczby parzystej, a B liczby większej od 3.

• Krok 1: Ω={1,2,3,4,5,6}.
• Krok 2: A={2,4,6}.
• Krok 3: B={4,5,6}.
• Krok 4: A∩B={4,6}.
• Krok 5: P(A∩B)=2/6=1/3.

Przykład krok po kroku: dwie monety

Rzucamy dwiema monetami. A oznacza orła na pierwszej monecie, a B orła na drugiej.

• Krok 1: P(A)=1/2.
• Krok 2: P(B)=1/2.
• Krok 3: zdarzenia są niezależne.
• Krok 4: P(A∩B)=1/2·1/2=1/4.
• Kontrola: jedynym sprzyjającym wynikiem jest OO spośród czterech możliwych.

Przykład krok po kroku: losowanie bez zwracania

W urnie są 3 kule czerwone i 2 niebieskie. Losujemy dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie będą czerwone.

• Krok 1: P(pierwsza czerwona)=3/5.
• Krok 2: po wylosowaniu czerwonej zostają 2 czerwone kule spośród 4.
• Krok 3: P(druga czerwona pod warunkiem pierwszej czerwonej)=2/4.
• Krok 4: P(obie czerwone)=3/5·2/4=6/20=3/10.

Niezależność i zależność

• Zdarzenia są niezależne, gdy zajście jednego nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego.
• Rzuty dwiema monetami są niezależne.
• Losowania bez zwracania są zwykle zależne.
• Przy losowaniu ze zwracaniem prawdopodobieństwa kolejnych etapów pozostają takie same.

Najczęstsze błędy

• Mylenie iloczynu A∩B z sumą A∪B.
• Mnożenie prawdopodobieństw bez sprawdzenia niezależności.
• Pomijanie zmiany mianownika przy losowaniu bez zwracania.
• Wybieranie wyników spełniających tylko jeden warunek.
• Używanie słowa „lub” zamiast „i”.

Kontrola wyniku

• P(A∩B) nie może być większe niż P(A) ani P(B).
• Sprawdź, czy każdy wynik z A∩B spełnia oba warunki.
• Przy niezależności porównaj wynik z iloczynem P(A)·P(B).
• Przy losowaniu bez zwracania sprawdź zmianę liczby dostępnych obiektów.
• Upewnij się, że wynik mieści się od 0 do 1.

Najczęstsze pytania