Iloczyn zdarzeń \(A\cap B\) to ich część wspólna: wyniki spełniające oba warunki jednocześnie. Nie należy mylić tego pojęcia z automatycznym mnożeniem dwóch prawdopodobieństw.
Pojęcia, od których zaczynamy
Dla \(A=\{2,4,6\}\) oraz \(B=\{4,5,6\}\) wspólne są tylko czwórka i szóstka. Spójnik „i” każe sprawdzić oba warunki dla tego samego wyniku. „Parzysty i większy od trzech” różni się od „parzysty lub większy od trzech”.
Dwa zdarzenia są niezależne, gdy informacja o zajściu jednego nie zmienia szans drugiego. Rozłączne natomiast nie mogą wystąpić razem. Są to różne pojęcia. Dwa zdarzenia rozłączne o dodatnich prawdopodobieństwach nie są niezależne: zajście pierwszego wyklucza drugie.
Zasada i zapis
\(P(B\mid A)\) to szansa B po uzyskaniu informacji, że zaszło A; ten zapis wymaga \(P(A)\gt0\). Dla niezależnych zdarzeń drugi czynnik jest równy \(P(B)\).
Jak czytać rysunek?
Na diagramie wyróżniono wyłącznie wspólny obszar zdarzeń: oczka cztery i sześć. Pozostałe liczby należą najwyżej do jednego zdarzenia, więc nie spełniają warunku „i”. Do odczytania części wspólnej nie potrzebujemy założenia o niezależności.
Przykład krok po kroku
W urnie są trzy kule czerwone i dwie niebieskie. Każda pozostała kula ma równe szanse. Losujemy kolejno dwie bez zwracania. Oblicz szansę dwóch czerwonych.
- Przed pierwszym losowaniem mamy trzy czerwone wśród pięciu kul.\(P(C_1)=\frac35\)
- Po pierwszej czerwonej pozostają dwie czerwone i dwie niebieskie, razem cztery.\(P(C_2\mid C_1)=\frac24\)
- Pomnóż szansę pierwszego kroku przez szansę drugiego w powstałej sytuacji.\(P(C_1\cap C_2)=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Przy niezależnym rzucie uczciwą monetą i kostką szansa orła oraz szóstki wynosi \(\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}\). Tutaj wynik monety nie zmienia rozkładu kostki, dlatego wolno mnożyć pierwotne prawdopodobieństwa.
W jednym rzucie uczciwą kostką dla zbiorów z rysunku część wspólna ma szansę \(\frac26=\frac13\). Iloczyn szans obu zdarzeń wynosi jednak \(\frac36\cdot\frac36=\frac14\). Ta różnica pokazuje brak niezależności. Zawsze sprawdź też, czy szansa części wspólnej nie przekracza szans żadnego z dwóch zdarzeń.