Losowanie kul, kart i liczb

Wyobraź sobie trzy stanowiska w wesołym miasteczku: urnę z kolorowymi kulami, talię kart i maszynę losującą liczby. Każde działa według tej samej zasady: najpierw ustalasz wszystkie możliwe wyniki, potem wybierasz te, które spełniają warunek zadania.

Konkret: co naprawdę losujemy?

• W urnie obiektami są kule, na przykład czerwone, niebieskie i zielone.
• W talii obiektami są 52 karty podzielone na kolory i figury.
• Przy losowaniu liczb obiektami mogą być liczby od 1 do 10 albo elementy dowolnego podanego zbioru.
• Każdy wynik elementarny powinien mieć taką samą szansę, jeśli zadanie nie mówi inaczej.

Reprezentacja: pudełka wyników

Potraktuj przestrzeń zdarzeń Ω jak wielkie pudełko zawierające wszystkie dopuszczalne wyniki. Zdarzenie A to mniejsze pudełko z wynikami sprzyjającymi.

• n(Ω) oznacza liczbę wszystkich możliwych wyników.
• n(A) oznacza liczbę wyników sprzyjających.
• W klasycznym modelu P(A)=n(A)/n(Ω).
• Przy kilku losowaniach trzeba ustalić, czy kolejność ma znaczenie i czy obiekty są zwracane.

Abstrakcja: cztery pytania przed obliczeniem

• Czy losujemy jeden obiekt czy kilka?
• Czy po losowaniu obiekt wraca do zbioru?
• Czy kolejność wyników ma znaczenie?
• Czy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne?

Te cztery decyzje wyznaczają właściwy model i chronią przed automatycznym użyciem złego wzoru.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim K-U-L-A: Kataloguj wszystkie wyniki, Ustal warunek sukcesu, Licz sprzyjające możliwości, Analizuj zwracanie i kolejność. W pałacu pamięci gigantyczna kula demoluje stół, z talii wyskakuje król na sprężynie, a liczby uciekają po ścianach. Każdy obiekt musi przejść przez cztery bramki K-U-L-A, zanim wolno zapisać prawdopodobieństwo.

Przykład krok po kroku: jedna kula

W urnie są 4 kule czerwone, 3 niebieskie i 1 zielona. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej.

• Krok 1: wszystkich kul jest 4+3+1=8.
• Krok 2: kul czerwonych są 4.
• Krok 3: P(czerwona)=4/8=1/2.
• Kontrola: czerwone kule stanowią połowę wszystkich kul, więc wynik 1/2 jest rozsądny.

Przykład krok po kroku: dwie kule bez zwracania

W urnie są 3 kule czerwone i 2 niebieskie. Losujemy dwie bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą czerwone?

• Krok 1: pierwsza czerwona ma prawdopodobieństwo 3/5.
• Krok 2: po jej wylosowaniu zostają 2 czerwone kule spośród 4.
• Krok 3: P(obie czerwone)=3/5·2/4=6/20=3/10.
• Kontrola: drugie losowanie ma inny mianownik, bo kula nie wróciła.

Przykład krok po kroku: dwie kule ze zwracaniem

Z tej samej urny losujemy dwie kule ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą czerwone?

• Krok 1: P(pierwsza czerwona)=3/5.
• Krok 2: kula wraca, więc P(druga czerwona)=3/5.
• Krok 3: P(obie czerwone)=3/5·3/5=9/25.
• Kontrola: oba czynniki są identyczne, ponieważ skład urny się nie zmienił.

Przykład krok po kroku: losowanie karty

Z talii 52 kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania damy lub kiera.

• Krok 1: dam są 4.
• Krok 2: kierów jest 13.
• Krok 3: dama kier została policzona w obu grupach.
• Krok 4: wyników sprzyjających jest 4+13−1=16.
• Krok 5: P=16/52=4/13.

Przykład krok po kroku: losowanie liczby

Losujemy jedną liczbę ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej większej od 5?

• Krok 1: wszystkich liczb jest 10.
• Krok 2: liczby parzyste większe od 5 to {6,8,10}.
• Krok 3: wyników sprzyjających są 3.
• Krok 4: P=3/10.

Karty: najważniejsze liczby do zapamiętania

• Pełna talia ma 52 karty.
• Są 4 kolory: kier, karo, trefl i pik.
• Każdy kolor ma 13 kart.
• Figur są 12: po 4 walety, damy i króle.
• Asów są 4.

Najczęstsze błędy

• Niezmienianie mianownika przy losowaniu bez zwracania.
• Zmiana mianownika mimo losowania ze zwracaniem.
• Liczenie karty należącej do dwóch grup dwa razy.
• Pomijanie kolejności, gdy wyniki AB i BA są różne.
• Wybieranie elementów spełniających tylko część warunku.
• Dzielenie przez liczbę wyników sprzyjających zamiast przez liczbę wszystkich wyników.

Kontrola wyniku

• Wynik musi mieścić się od 0 do 1.
• Im mniej wyników sprzyjających, tym mniejsze prawdopodobieństwo.
• Przy losowaniu bez zwracania sprawdź, czy liczba obiektów maleje.
• Przy losowaniu ze zwracaniem sprawdź, czy skład zbioru pozostaje taki sam.
• Przy kartach upewnij się, że nie policzono części wspólnej dwa razy.
• Możesz wypisać wszystkie wyniki dla małych zbiorów i porównać wynik.

Najczęstsze pytania