Losowanie kul, kart i liczb opisujemy przez dokładne wskazanie puli, zasad losowania i badanego warunku. O szansach decydują konkretne dostępne obiekty, a nie sama liczba ich kolorów czy rodzajów.
Pojęcia, od których zaczynamy
W urnie z czterema czerwonymi i trzema niebieskimi kulami nie ma dwóch równych szans tylko dlatego, że są dwa kolory. Jeżeli każda kula ma tę samą szansę, czerwony kolor otrzymamy z prawdopodobieństwem \(\frac47\). Można w myślach ponumerować kule, aby rozróżnić elementarne wyniki.
Ze zwracaniem odkładamy wylosowany obiekt przed następną próbą i ponownie mieszamy. Bez zwracania usuwamy go z puli. Ustal też kolejność: „najpierw czerwona, potem niebieska” to jedna ścieżka, natomiast „jedna czerwona i jedna niebieska” dopuszcza dwie kolejności. Przyjmujemy równomierny wybór spośród pozostałych obiektów.
Zasada i zapis
Wzór dotyczy pojedynczego losowania przy jednakowych szansach każdej kuli. Dla kolejnych losowań liczebności mogą się zmienić.
Jak czytać rysunek?
Lewa część rysunku pokazuje początkowe cztery czerwone i trzy niebieskie kule. Po zabraniu czerwonej pozostają trzy czerwone wśród sześciu. Przy zwróceniu kuli odtwarzamy początkową pulę siedmiu elementów. Liczby obok rysunku dotyczą drugiego losowania po czerwonej.
Przykład krok po kroku
Losujemy równomiernie liczbę całkowitą od jednego do trzydziestu włącznie. Oblicz szansę liczby podzielnej przez dwa lub przez pięć.
- Policz wielokrotności każdego dzielnika w podanym zakresie.\(n_2=15,\quad n_5=6\)
- Wspólne są wielokrotności dziesięciu: dziesięć, dwadzieścia i trzydzieści. Usuń podwójne liczenie.\(|A|=15+6-3=18\)
- Wszystkich liczb jest trzydzieści, więc dzielimy przez tę liczebność.\(P(A)=\frac{18}{30}=\frac35\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Pełna talia bez jokerów ma \(52\) karty, cztery kolory po trzynaście kart, cztery asy i dwanaście figur: waletów, dam i króli. Czerwonych kart jest dwadzieścia sześć. „Kolor” w kartach oznacza kier, karo, trefl lub pik, a nie tylko czerwony lub czarny. Przy równych szansach każdej karty as ma prawdopodobieństwo \(\frac4{52}=\frac1{13}\).
Przed liczeniem sprawdź, czy talia jest pełna i czy krańce przedziału liczb są włączone. Przykładowo liczb całkowitych od pięciu do dziesięciu włącznie jest \(10-5+1=6\). Nie mieszaj uporządkowanych par w liczniku z nieuporządkowanymi parami w mianowniku.