Rzut monetą i kostką

Wyobraź sobie, że moneta uruchamia jedną z dwóch bramek: O albo R. Za każdą bramką stoi kostka z sześcioma pokojami oznaczonymi liczbami od 1 do 6. Każdy pełny wynik składa się więc z dwóch informacji, na przykład O4 lub R2.

Konkret: dwa etapy doświadczenia

• Moneta ma dwa możliwe wyniki: orzeł O i reszka R.
• Kostka ma sześć możliwych wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Każdy wynik doświadczenia zapisujemy jako uporządkowaną parę, na przykład (O,3).
• Łącznie otrzymujemy 2·6=12 jednakowo prawdopodobnych wyników.

Reprezentacja: tabela i drzewko

W tabeli tworzymy dwa wiersze dla O i R oraz sześć kolumn dla wyników kostki. W drzewku najpierw rysujemy dwie gałęzie monety, a z każdej z nich sześć gałęzi kostki.

• Ω={(O,1),(O,2),(O,3),(O,4),(O,5),(O,6),(R,1),(R,2),(R,3),(R,4),(R,5),(R,6)}.
• Każdy wynik ma prawdopodobieństwo 1/12.
• Wyniki sprzyjające wybieramy na podstawie obu warunków zadania.

Abstrakcja: reguła mnożenia

Jeśli wykonujemy niezależnie dwa doświadczenia, liczba wszystkich wyników jest iloczynem liczby możliwości w każdym etapie.

n(Ω)=2·6=12

Dla pojedynczego wyniku, na przykład orła i liczby 5:

P(O i 5)=1/2·1/6=1/12

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim M-O-N-E-T-A: Mnożysz możliwości, Opisujesz pary, Nazywasz zdarzenie, Eliminujesz wyniki niesprzyjające, Tworzysz ułamek, Analizujesz wynik. W pałacu pamięci gigantyczna moneta rozcina pokój na dwie połowy. W każdej połowie skacze sześć kostek, które wybuchają konfetti z numerami. Zbierasz tylko te pary, które spełniają warunek zadania.

Przykład krok po kroku: orzeł i liczba parzysta

Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania orła i liczby parzystej.

• Krok 1: wszystkich wyników jest 12.
• Krok 2: liczby parzyste to 2, 4 i 6.
• Krok 3: wyniki sprzyjające to (O,2), (O,4), (O,6).
• Krok 4: P=3/12=1/4.
• Kontrola: 1/2·3/6=1/4.

Przykład krok po kroku: reszka lub liczba 6

Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania reszki lub liczby 6.

• Krok 1: reszka daje 6 wyników: (R,1) do (R,6).
• Krok 2: liczba 6 daje dwa wyniki: (O,6) i (R,6).
• Krok 3: wynik (R,6) został policzony w obu grupach.
• Krok 4: wyników sprzyjających jest 6+2−1=7.
• Krok 5: P=7/12.

Przykład krok po kroku: orzeł lub liczba nieparzysta

• Krok 1: orzeł daje 6 wyników.
• Krok 2: liczby nieparzyste 1, 3, 5 dają 6 wyników łącznie z obiema stronami monety.
• Krok 3: wspólne są (O,1), (O,3), (O,5), czyli 3 wyniki.
• Krok 4: 6+6−3=9 wyników sprzyjających.
• Krok 5: P=9/12=3/4.

Najczęstsze błędy

• Przyjmowanie, że wszystkich wyników jest 2+6=8 zamiast 2·6=12.
• Zapisywanie tylko wyniku kostki i pomijanie wyniku monety.
• Mylenie warunku „i” z warunkiem „lub”.
• Liczenie wyniku wspólnego dwa razy przy zdarzeniu typu „lub”.
• Zakładanie, że pary (O,3) i (R,3) są tym samym wynikiem.

Kontrola wyniku

• Sprawdź, czy Ω zawiera dokładnie 12 par.
• Każda para powinna mieć prawdopodobieństwo 1/12.
• Dla warunku „i” wynik nie może przekraczać prawdopodobieństwa żadnego z pojedynczych warunków.
• Dla warunku „lub” pamiętaj o odjęciu części wspólnej.
• Porównaj wynik z obliczeniem przez mnożenie lub dodawanie prawdopodobieństw.

Najczęstsze pytania