Rzut monetą i kostkąPodstawa

W rzutach monetą i kostką zapisujemy pełne sekwencje wyników. Przy uczciwych przyrządach i niezależnych rzutach takie sekwencje mają równe szanse, co pozwala użyć prawdopodobieństwa klasycznego.

Pojęcia, od których zaczynamy

Uczciwa moneta daje orła O i reszkę R z równymi szansami. Zwykła uczciwa kostka ma sześć możliwych liczb oczek. Niezależność oznacza, że poprzedni wynik nie zmienia szans następnego. Seria orłów nie sprawia, że reszka w kolejnym niezależnym rzucie staje się bardziej prawdopodobna.

Jeden wynik dwóch rzutów monetą składa się z dwóch liter. OR i RO różnią się kolejnością. Przy dwóch kostkach zapisujemy parę \((a,b)\), gdzie pierwsza współrzędna dotyczy pierwszej kostki. Nie łączymy różnych par tylko dlatego, że mają tę samą sumę.

Zasada i zapis

Jak czytać rysunek?

Osiem pól przedstawia wszystkie wyniki trzech rzutów monetą. Wyróżniono OOR, ORO oraz ROO, bo każdy zawiera dokładnie dwa orły. Sekwencja OOO nie spełnia słowa „dokładnie”.

Przykład krok po kroku

Rzucamy niezależnie trzy razy uczciwą monetą. Oblicz szansę dokładnie dwóch orłów.

1. Każde miejsce ma dwie możliwości, więc liczba pełnych ciągów wynosi osiem.\(|\Omega|=2\cdot2\cdot2=8\)
2. Wybierz miejsce jedynej reszki; są trzy możliwe pozycje.\(A=\{OOR,ORO,ROO\}\)
3. Wszystkie ciągi mają równe szanse, więc podziel ich liczebności.\(P(A)=\frac38\)

Typowy błąd

Dodatkowy przykład i kontrola

Dwie niezależne uczciwe kostki dają \(36\) par. Sumę siedem tworzy sześć par, więc jej szansa wynosi \(\frac6{36}=\frac16\). Sumę dziewięć tworzą \((3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\), zatem szansa wynosi \(\frac4{36}=\frac19\). Liczba możliwych sum nie jest poprawnym mianownikiem dla modelu równych szans.

W niezależnym rzucie uczciwą monetą i kostką jest \(2\cdot6=12\) wyników. Orzeł i liczba parzysta to trzy pary, czyli szansa \(\frac3{12}=\frac14\). Reszka lub szóstka obejmuje \(6+2-1=7\) par. Słowo „i” zawęża warunek, a „lub” łączy możliwości z kontrolą części wspólnej.