Drzewko probabilistyczne przedstawia kolejne etapy doświadczenia wraz z ich prawdopodobieństwami. Wzdłuż jednej ścieżki mnożymy szanse, a prawdopodobieństwa rozłącznych ścieżek sprzyjających zdarzeniu dodajemy.
Pojęcia, od których zaczynamy
Początek drzewka to sytuacja przed doświadczeniem. Każda gałąź prowadzi do możliwego wyniku następnego etapu. Węzeł oznacza sytuację po dotychczasowych wynikach, a liść koniec pełnej próby. Ułamek na drugiej gałęzi opisuje szansę w sytuacji osiągniętej wcześniej, nie zawsze w początkowej puli.
Gałęzie wychodzące z jednego węzła muszą opisywać wszystkie rozłączne możliwości. Ich prawdopodobieństwa sumują się do jedności. Nie sumujemy w tym celu gałęzi pochodzących z różnych węzłów. Ścieżka jest ciągiem od początku do konkretnego liścia.
Zasada i zapis
Każde \(p_i\) jest szansą kolejnego kroku przy wcześniejszych wynikach tej ścieżki. Nie wymaga to niezależności, jeśli prawdopodobieństwa poprawnie aktualizujemy.
Jak czytać rysunek?
B oznacza białą kulę, C czarną. Po białej w urnie zostaje jedna biała i jedna czarna. Po czarnej zostają dwie białe, więc kolejna czarna ma szansę zero. Zaznaczone ścieżki BC i CB opisują różne kolory. Nie trzeba rysować niemożliwej ścieżki, ale tutaj pokazano ją z zerową szansą dla kontroli.
Przykład krok po kroku
W urnie są dwie białe kule i jedna czarna. Losujemy równomiernie dwie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo różnych kolorów.
- Pierwsza możliwość to biała, potem czarna. Po białej pozostają dwie kule.\(P(BC)=\frac23\cdot\frac12=\frac13\)
- Druga możliwość to czarna, potem biała. Po czarnej obie pozostałe są białe.\(P(CB)=\frac13\cdot1=\frac13\)
- Kolejności są rozłączne, dlatego dodajemy ich szanse.\(P(\text{różne kolory})=\frac13+\frac13=\frac23\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Sprawdzenie całego drzewka daje \(P(BB)=\frac13\), \(P(BC)=\frac13\), \(P(CB)=\frac13\), \(P(CC)=0\). Suma liści wynosi jeden. Cztery narysowane liście nie oznaczają czterech równych szans — jeden wynik jest niemożliwy.
Ze zwracaniem i ponownym mieszaniem drugi poziom zachowałby początkowe szanse. Różne kolory miałyby wtedy prawdopodobieństwo \(\frac23\cdot\frac13+\frac13\cdot\frac23=\frac49\). Zmiana jednej zasady doświadczenia zmienia całe drzewko i odpowiedź.