Prawdopodobieństwo w zadaniach tekstowych

Wyobraź sobie, że treść zadania to zamknięty pokój pełen wskazówek. Nie każda informacja jest jednakowo ważna. Twoim zadaniem jest znaleźć trzy klucze: co losujemy, jakie zdarzenie nas interesuje i ile jest wszystkich możliwych wyników.

Konkret: rozpoznaj sytuację

• Ustal, jakie doświadczenie losowe wykonujemy: rzut, losowanie, wybór osoby, karty albo liczby.
• Sprawdź, czy doświadczenie jest jednoetapowe czy wieloetapowe.
• Zaznacz warunek sukcesu, czyli zdarzenie, którego prawdopodobieństwo obliczasz.
• Ustal, czy wyniki są jednakowo prawdopodobne.

Reprezentacja: zamiana tekstu na schemat

• Wypisz przestrzeń wyników Ω albo policz jej liczebność.
• Zapisz zdarzenie A słowami i symbolami.
• Przy kilku etapach użyj tabeli, drzewka lub reguły mnożenia.
• Przy warunku „lub” pamiętaj o sumie zdarzeń, a przy „i” o ich części wspólnej.
• Przy zwrotach „co najmniej raz” często opłaca się użyć zdarzenia przeciwnego.

Abstrakcja: dobór właściwego wzoru

• Model klasyczny: P(A)=n(A)/n(Ω).
• Suma zdarzeń: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
• Iloczyn zdarzeń niezależnych: P(A∩B)=P(A)·P(B).
• Zdarzenie przeciwne: P(A')=1−P(A).
• Ścieżka na drzewku: mnożenie po gałęziach, dodawanie sprzyjających ścieżek.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim T-R-E-Ś-Ć: Typ doświadczenia, Rozpisz Ω, Efekt sprzyjający, Ścieżka lub wzór, Ćwicz kontrolę wyniku. W pałacu pamięci gigantyczna książka otwiera się z hukiem. Z każdej strony wyskakują kule, kostki i karty, ale tylko pięć z nich trafia do szuflad T-R-E-Ś-Ć. Gdy wszystkie szuflady są pełne, na ścianie pojawia się właściwy wzór.

Przykład krok po kroku: wybór ucznia

W klasie jest 12 dziewcząt i 8 chłopców. Losowo wybieramy jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo wybrania dziewczynki?

• Krok 1: wszystkich uczniów jest 12+8=20.
• Krok 2: wyników sprzyjających jest 12.
• Krok 3: P=12/20=3/5.
• Kontrola: dziewczęta stanowią więcej niż połowę klasy, więc wynik większy niż 1/2 jest logiczny.

Przykład krok po kroku: co najmniej jeden orzeł

Rzucamy monetą trzy razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz wypadnie orzeł.

• Krok 1: zdarzenie przeciwne oznacza brak orła, czyli trzy reszki.
• Krok 2: P(RRR)=1/2·1/2·1/2=1/8.
• Krok 3: P(przynajmniej jeden orzeł)=1−1/8=7/8.
• Kontrola: wynik powinien być duży, bo tylko jedna z ośmiu ścieżek nie zawiera orła.

Przykład krok po kroku: karta lub figura

Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania asa lub kiera.

• Krok 1: asów są 4.
• Krok 2: kierów jest 13.
• Krok 3: as kier należy do obu grup.
• Krok 4: wyników sprzyjających jest 4+13−1=16.
• Krok 5: P=16/52=4/13.

Przykład krok po kroku: dwa losowania bez zwracania

W pudełku są 3 białe i 2 czarne kule. Losujemy dwie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych.

• Krok 1: P(pierwsza biała)=3/5.
• Krok 2: po wylosowaniu białej zostają 2 białe spośród 4 kul.
• Krok 3: P(druga biała po pierwszej białej)=2/4.
• Krok 4: P=3/5·2/4=3/10.

Słowa-klucze w zadaniach

• „I” oznacza jednoczesne spełnienie warunków.
• „Lub” oznacza spełnienie co najmniej jednego warunku.
• „Dokładnie” wymaga konkretnej liczby wystąpień.
• „Co najmniej” oznacza daną liczbę lub więcej.
• „Co najwyżej” oznacza daną liczbę lub mniej.
• „Bez zwracania” zmienia prawdopodobieństwa kolejnych etapów.

Najczęstsze błędy

• Rozpoczynanie obliczeń bez ustalenia przestrzeni wyników.
• Mylenie liczby wszystkich wyników z liczbą wyników sprzyjających.
• Ignorowanie słów „i”, „lub”, „co najmniej” oraz „bez zwracania”.
• Dodawanie prawdopodobieństw wtedy, gdy trzeba je mnożyć.
• Brak odjęcia części wspólnej przy sumie zdarzeń.
• Brak uproszczenia ułamka i kontroli sensowności wyniku.

Kontrola wyniku

• Wynik musi należeć do przedziału od 0 do 1.
• Sprawdź, czy odpowiedź pasuje do intuicji: zdarzenie częste powinno mieć duże prawdopodobieństwo.
• Porównaj licznik z mianownikiem w modelu klasycznym.
• Sprawdź, czy żaden wynik nie został pominięty lub policzony dwa razy.
• Przy doświadczeniu wieloetapowym skontroluj zmianę liczby dostępnych obiektów.

Najczęstsze pytania