W zadaniu tekstowym o prawdopodobieństwie najpierw ustalamy, co jest jednym wynikiem i jakie zasady obowiązują. Dopiero potem dobieramy zliczanie, dopełnienie, sumę zdarzeń lub drzewko.
Pojęcia, od których zaczynamy
Przepisz warunek własnymi słowami i podaj jeden przykład wyniku korzystnego oraz niekorzystnego. Dla kodu zawierającego co najmniej jedną piątkę kod 152 jest korzystny, a 123 nie. „Co najmniej jedna” dopuszcza też dwie lub trzy piątki; „dokładnie jedna” już nie.
Zaznacz liczbę etapów, możliwość powtórzeń i sposób losowania. Samo stwierdzenie, że istnieje pewna liczba kodów, nie oznacza równych szans ich wyboru. W modelu poniżej każdą cyfrę wybieramy niezależnie i równomiernie. Licznik i mianownik opisują pełne trzyznakowe kody.
Zasada i zapis
Dopełnienie jest wygodne, gdy łatwiej policzyć brak wskazanej cyfry niż wszystkie możliwe liczby jej wystąpień.
Jak czytać rysunek?
Trzy pola oznaczają trzy pozycje kodu. Górny wiersz dopuszcza pięć cyfr na każdej pozycji. Dolny wyklucza piątkę, zostawiając cztery możliwości. Odejmujemy całe ciągi bez piątki, a nie tylko pojedyncze cyfry.
Przykład krok po kroku
Każdą z trzech cyfr kodu losujemy niezależnie i równomiernie ze zbioru \(\{1,2,3,4,5\}\). Powtórzenia są dozwolone. Jaka jest szansa co najmniej jednej piątki?
- Oblicz liczbę wszystkich pełnych kodów.\(|\Omega|=5^3=125\)
- W kodzie bez piątki każda pozycja ma cztery możliwości.\(|A^c|=4^3=64\)
- Odejmij niekorzystne kody, a następnie podziel przez wszystkie.\(P(A)=\frac{125-64}{125}=\frac{61}{125}\)
Typowy błąd
Dodatkowy przykład i kontrola
Drugi przykład: z trzech dobrych i dwóch wadliwych elementów losujemy równomiernie dwa bez zwracania. Szansa dwóch dobrych wynosi \(\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}\). Jeżeli kolejność nie jest istotna, możemy też policzyć trzy dobre pary spośród dziesięciu wszystkich par. Obie metody dają ten sam wynik, bo zachowują spójny model.
Kontrola obejmuje więcej niż przedział od zera do jedności. Sprawdź, czy opisane przypadki są rozłączne, czy wszystkie korzystne wyniki zostały uwzględnione i czy prawidłowo zanegowano warunek. Odpowiedź zapisz jako szansę zdarzenia z polecenia, a nie samą liczbę sprzyjających wyników.