Wielokąty foremne

Spójrz na plaster miodu, znak STOP albo dekoracyjną rozetę. Ich regularność nie jest przypadkowa: wielokąt foremny ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary.

Konkret: regularna figura jak równo ułożone kafelki

Wyobraź sobie stół, wokół którego rozstawiono jednakowe krzesła w równych odstępach. Każdy bok wielokąta foremnego jest taki sam, a każdy wierzchołek wygląda identycznie.

Reprezentacja: najważniejsze elementy

• n oznacza liczbę boków.
• Obwód wielokąta foremnego o boku a wynosi O=n·a.
• Suma kątów wewnętrznych wynosi S=(n-2)·180°.
• Jeden kąt wewnętrzny ma miarę α=((n-2)·180°)/n.
• Jeden kąt zewnętrzny ma miarę β=360°/n.
• Kąt środkowy również ma miarę 360°/n.

Abstrakcja: skąd biorą się wzory

Z jednego wierzchołka n-kąta można poprowadzić przekątne, które dzielą figurę na n-2 trójkąty. Każdy trójkąt ma sumę kątów 180°, dlatego suma kątów wielokąta wynosi (n-2)·180°.

Po połączeniu środka wielokąta ze wszystkimi wierzchołkami otrzymujemy n jednakowych trójkątów. Pełny obrót ma 360°, więc każdy kąt środkowy ma 360°/n.

Pole wielokąta foremnego

Jeżeli znamy obwód O i apotemę r, czyli odcinek od środka prostopadły do boku, to:

P=O·r/2

Ponieważ O=n·a, można też zapisać P=n·a·r/2.

Szczególne przypadki

• Trójkąt równoboczny: P=a²√3/4.
• Kwadrat: P=a².
• Sześciokąt foremny: P=3a²√3/2.

FAJNY TRIK EDUKACYJNY

Zapamiętaj akronim B-K-Ś-P: Boki policz, Kąty wyznacz, Środek połącz, Pole oblicz. W pałacu pamięci wchodzisz do okrągłej sali. Na ścianie stoi n identycznych drzwi, a ze środka sali wystrzeliwują promienie jak laserowe szprychy. Pełne 360° rozpada się na n równych kawałków. Potem ogromna apotema spada prostopadle na bok jak winda, a pole powstaje z n jednakowych trójkątnych kawałków pizzy.

Przykład krok po kroku: kąt wewnętrzny

Oblicz miarę kąta wewnętrznego sześciokąta foremnego.

• Krok 1: n=6.
• Krok 2: Zapisz wzór α=((n-2)·180°)/n.
• Krok 3: α=((6-2)·180°)/6.
• Krok 4: α=720°/6=120°.
• Odpowiedź: każdy kąt wewnętrzny ma 120°.

Przykład krok po kroku: liczba boków

Kąt zewnętrzny wielokąta foremnego ma 45°. Ile boków ma ten wielokąt?

• Krok 1: Użyj wzoru β=360°/n.
• Krok 2: 45°=360°/n.
• Krok 3: n=360°/45°=8.
• Odpowiedź: jest to ośmiokąt foremny.

Przykład krok po kroku: obwód

Dziesięciokąt foremny ma bok długości 4 cm. Oblicz obwód.

• Krok 1: n=10, a=4 cm.
• Krok 2: O=n·a.
• Krok 3: O=10·4=40 cm.

Przykład krok po kroku: pole z apotemy

Wielokąt foremny ma obwód 48 cm i apotemę długości 5 cm. Oblicz pole.

• Krok 1: Zapisz wzór P=O·r/2.
• Krok 2: P=48·5/2.
• Krok 3: P=240/2=120 cm².

Przykład krok po kroku: sześciokąt foremny

Sześciokąt foremny ma bok długości 4 cm. Oblicz jego pole.

• Krok 1: Użyj wzoru P=3a²√3/2.
• Krok 2: P=3·4²√3/2.
• Krok 3: P=3·16√3/2=48√3/2.
• Krok 4: P=24√3 cm².

Najczęstsze błędy

• Mylenie sumy kątów z miarą jednego kąta.
• Dzielenie przez n przed wykonaniem działania n-2.
• Mylenie kąta wewnętrznego z zewnętrznym.
• Zapominanie, że suma wszystkich kątów zewnętrznych wynosi 360°.
• Używanie wzoru P=O·r bez dzielenia przez 2.
• Traktowanie promienia okręgu opisanego jak apotemy.

Kontrola wyniku

• Kąt wewnętrzny i odpowiadający mu kąt zewnętrzny powinny sumować się do 180°.
• Liczba boków n musi być liczbą naturalną co najmniej równą 3.
• Im więcej boków, tym kąt wewnętrzny jest bliższy 180°.
• Kąt środkowy pomnożony przez n powinien dać 360°.
• W polu z apotemy sprawdź jednostkę kwadratową.

Najczęstsze pytania