Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty wewnętrzne równe, a jego środek dzieli figurę na przystające trójkąty równoramienne.
Pojęcia, od których zaczynamy
Wielokąt foremny ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty wewnętrzne równe. Sam warunek równych boków nie wystarcza: romb o kątach innych niż proste nie jest foremny. Trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny, a czworokątem foremnym kwadrat.
Środek wielokąta foremnego jest jednakowo odległy od wierzchołków i jednakowo odległy od boków. Promień \(R\) prowadzi od środka do wierzchołka. Apotema \(\rho\) prowadzi od środka prostopadle do boku i kończy się w jego środku. To dwie różne długości. Połączenie środka ze wszystkimi wierzchołkami dzieli figurę na \(n\) jednakowych trójkątów równoramiennych, gdzie \(n\) jest liczbą boków.
Zasady i wzory
Suma kątów wewnętrznych \(n\)-kąta wynosi \((n-2)180^\circ\). W wielokącie foremnym każdy kąt środkowy ma miarę \(\frac{360^\circ}{n}\).
- Równość samych boków nie zawsze wystarcza do foremności.
- Każdy kąt wewnętrzny foremnego n-kąta jest równy sumie podzielonej przez n.
- Pole można liczyć jako połowę iloczynu obwodu i apotemy.
S to suma kątów, α — kąt wewnętrzny, φ — kąt środkowy.
Jak czytać rysunek?
W sześciokącie foremnym kąt przy środku jednego z sześciu trójkątów ma \(\frac{360^\circ}{6}=60^\circ\). Pozostałe dwa kąty są równe i też mają \(60^\circ\), więc te trójkąty są równoboczne. Z tego powodu bok sześciokąta jest równy promieniowi \(R\). Apotema jest wysokością takiego trójkąta, a nie jego bokiem.
Przykład krok po kroku
Oblicz kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego.
Dlaczego dzielimy sumę kątów przez liczbę boków? W każdym wielokącie wypukłym suma kątów wynosi \((n-2)180^\circ\). Dopiero foremność gwarantuje, że wszystkie kąty są równe. Wtedy tę sumę dzielimy na \(n\) jednakowych części.
- Policz sumę kątów.\(S=(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ\)
- Podziel przez liczbę kątów.\(\alpha=\frac{720^\circ}{6}\)
- Podaj wynik.\(\alpha=120^\circ\)
Typowy błąd
Foremność wymaga dwóch warunków.
Dodatkowy przykład i kontrola
Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma miarę \(\alpha=\frac{(n-2)180^\circ}{n}\). Kąt zewnętrzny przyległy do niego ma \(\frac{360^\circ}{n}\). Nie myl tego z sumą wszystkich kątów wewnętrznych, która wynosi \((n-2)180^\circ\).
Jeśli obwód oznaczymy \(O\), suma pól trójkątów przy środku daje \(P=\frac{O\rho}{2}\). Dla kwadratu o boku \(10\) mamy \(O=40\), \(\rho=5\), więc \(P=100\). Liczba przekątnych wynosi \(\frac{n(n-3)}{2}\): z każdego wierzchołka prowadzimy je do wszystkich poza nim i dwoma sąsiadami, a dzielenie przez dwa usuwa podwójne liczenie. Pięciokąt ma zatem \(\frac{5\cdot2}{2}=5\) przekątnych.